大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)1 s25

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/htr = 1 sa = −4.5 m/s²
d = m
2.运动学困难
v₀ = 13 m/s10 m

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 5 kg

一个 5 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
4 kg3 kgTF = 140 Nμ = 0.2

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。 求连接绳中的拉力 T。

m1 = 4 kgm2 = 3 kgF = 140 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 36 m/s35°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 36 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 20 mv0​ = 22 m/s40°v = ?

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 22 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求它落地时的速度 v。

v₀ = 22 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
7.功和能中等
30°d = 17 mμ = 0.35

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 17 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 4 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 500 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
5 kgv = ?20 gh = 20 cm

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
1 kgv = ?20 g10°L = 1 m

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1 kgL = 1 mθ = 10°g = 9.81 m/s²
v = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 340 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 340 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
C212.5 m5 md = 25 mmpC​ = ?

一根内径 25 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。

d = 25 mmzC = +2.5 mz2 = −5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
15.理想气体定律中等
290 g HeV = 10 LT = 70 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 290 g He，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 290 gM = 4.003 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的O₂从 350 kPa、5 L、15 °C 变化到 250 kPa 和 70 °C。求新的体积 V2。

P1 = 350 kPaV1 = 5 LT1 = 15 °CP2 = 250 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 400 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 3400 kJQL​W = ?

一台热机在 400 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 3400 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 400 °CTL = 25 °CQH = 3400 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 35 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 4 kWẆ = ?

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 4 kW 从冷藏室移走热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 35 °CTL = -18 °CQ̇L = 4 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
S20 m/sO15 m/sf = 1000 Hz

频率为 1000 Hz、速度为 20 m/s 的声源与速度为 15 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/svs = 20 m/svo = 15 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
SO5 m/sf = 20 kHz

静止的泊车传感器向以 5 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 94.44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 25·1 = 25 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

合计

d = 25 + 69.44 = 94.44 m

答案

d = 94.44 m
2.运动学

答案: t = 3.273 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 13·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 13·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.273 s

答案

t = 3.273 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 80 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (140 − 13.73)/7 = 18.04 m/s²

单独分析后面的物块

T = m1·(a + μ·g) = 4·(18.04 + 1.962) = 80 N

答案

T = 80 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 21.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 36·cos 35° = 29.49 m/s
vy = v0·sin θ = 36·sin 35° = 20.65 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 20.65²/(2·9.81) = 21.73 m

答案

H = 21.73 m
6.抛体运动

答案: v = 29.6 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 22·cos 40° = 16.85 m/s
vy0 = 22·sin 40° = 14.14 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(14.14² + 2·9.81·20) = 24.34 m/s

落水速度

v = √(16.85² + 24.34²) = 29.6 m/s

答案

v = 29.6 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: v = 8.104 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.104 m/s

答案

v = 8.104 m/s
8.功和能

答案: v = 7.608 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.3·3.5) = 14.47 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.95) = 7.608 m/s

答案

v = 7.608 m/s
9.动量与碰撞

答案: v = 497.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 5)·1.981/0.02 = 497.2 m/s

答案

v = 497.2 m/s
10.动量与碰撞

答案: v = 27.84 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 10°) = 0.01519 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01519) = 0.546 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.02·0.546/0.02 = 27.84 m/s

答案

v = 27.84 m/s
11.静水压力

答案: F = 208.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN

答案

F = 208.5 kN
12.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 317.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/40)² = 7.031 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 7.031²)/1000 = −22.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−22.72) = 317.3 kPa

答案

p2 = 317.3 kPa
14.连续性和伯努利

答案: pC = 27.72 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.905²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 73.58 = 27.72 kPa

答案

pC = 27.72 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: P = 20668 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 290/4.003 = 72.45 mol
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 72.45·8.314·343.1/0.01 = 20668 kPa

答案

P = 20668 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 8.336 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 288.1 K, T2 = 343.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(350/250)·(343.1/288.1) = 8.336 L

答案

V2 = 8.336 L
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 1894 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/673.1 = 55.71 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.5571·3400 = 1894 kJ

答案

Wmax = 1894 kJ
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.8309 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255.1/(308.1 − 255.1) = 4.814

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇L/COP = 4/4.814 = 0.8309 kW

答案

Ẇmin = 0.8309 kW
19.波、声与光学

答案: f′ = 1108 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1000·(343 + 15)/(343 − 20)
f′ = 1108 Hz

答案

f′ = 1108 Hz
20.波、声与光学

答案: f″ = 19425 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 5)/343 = 19708 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 5) = 19425 Hz

答案

f″ = 19425 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers