大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 19 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 19 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 8 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 9 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 50°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 25 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 10 m/s 向北行驶的 1200 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1500 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 9 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 0.5 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 20 mmz_C = +0.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 30 g CH₄，温度为 75 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 30 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 950 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 950 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 375 °C 的热源吸收 700 kJ 热量，放出 354 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 375 °CQ_H = 700 kJQ_L = 354 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 3100 kJ 热量，产生 806 kJ 的功，其余热量排向 25 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 350 °CT_L = 25 °CQ_H = 3100 kJW = 806 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与火石玻璃（n = 1.62）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.62

θ_c = °

20.波、声与光学困难

一个每毫米 400 条刻线的光栅，在偏离直进方向 30.4° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 30.4°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 131.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/5.5 = 6.909 s

距离

d = v·t = 19·6.909 = 131.3 m

答案

d = 131.3 m

此时警车的速度为 2v = 38 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.725 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (20 + √(20² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.725 s

答案

t = 4.725 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 61.61 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 26.84 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.06 N

系统的加速度

a = (88.29 − 26.84 − 11.06)/17 = 2.964 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 2.964) = 61.61 N

答案

T = 61.61 N

5.抛体运动

答案: H = 2.991 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 50° = 6.428 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 50° = 7.66 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.66²/(2·9.81) = 2.991 m

答案

H = 2.991 m

6.抛体运动

答案: x = 108.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21.85 m/s, v_y = 26.05 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 26.05·t − 4.905·t²

t = (26.05 + √(26.05² − 2·9.81·8))/9.81 = 4.983 s

水平距离

x = v_x·t = 21.85·4.983 = 108.9 m

答案

x = 108.9 m

7.功和能

答案: T = 5.497 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 20°) = 2.366 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·2.366/2 = 5.497 N

答案

T = 5.497 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

8.功和能

答案: v = 8.691 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.1·1.5) = 37.77 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.85) = 8.691 m/s

答案

v = 8.691 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 47.37 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·25/3800 = 13.16 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·25² = 625000 J

K_after = ½·3800·13.16² = 328947 J

损失的比例

ΔK/K = 296053/625000 = 47.37 %

答案

ΔK/K = 47.37 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 13.01 m/s

动量分量

p_x = 1500·22 = 33000 kg·m/s

p_y = 1200·10 = 12000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 35114/2700 = 13.01 m/s

答案

v′ = 13.01 m/s

11.静水压力

答案: F = 294.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

答案

F = 294.3 kN

12.静水压力

答案: F = 197 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·3.75 = 197 kN

答案

F = 197 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 77.43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·9000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.382 m/s

v₁ = 1.095 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·4.382 = 0.07743 m³/s = 77.43 L/s

答案

Q = 77.43 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 2.603 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·8.287 = 0.002603 m³/s = 2.603 L/s

答案

Q = 2.603 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 541.4 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 30/16.04 = 1.87 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

压强

P = nRT/V = 1.87·8.314·348.1/0.01 = 541.4 kPa

答案

P = 541.4 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 9.3 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 950·32/(8.314·393.1) = 9.3 kg/m³

答案

ρ = 9.3 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 54.63 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 648.1·354/700 = 327.8 K = 54.63 °C

答案

T_L = 54.63 °C

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 2.719 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 3100 − 806 = 2294 kJ

绝对温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −3100/623.1 = −4.975 kJ/K

ΔS_L = 2294/298.1 = 7.694 kJ/K

S_gen = 7.694 − 4.975 = 2.719 kJ/K

答案

S_gen = 2.719 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: θ_c = 42.02 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.62/2.42 = 0.6694

临界角

θc = arcsin(0.6694) = 42.02°

答案

θ_c = 42.02°

20.波、声与光学

答案: λ = 632.5 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 2.5 × 10⁻⁶·sin 30.4°/2 = 632.5 nm

答案

λ = 632.5 nm

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