大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1200 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 6 s，然后匀速行驶 17 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 6 st₂ = 17 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 65° 的角度抛出，落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 65°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 33 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.8 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 15 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgh = 15 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 4.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1500 kgd = 4.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 250 mm，喉部直径 125 mm。入口处的压强比喉部高 47 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 47 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 20 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 20 kPa (表压)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

130 g N₂在 800 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 130 gM = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 950 kPa 和 50 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 950 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 575 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3100 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 575 °CT_L = 15 °CQ_H = 3100 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 3900 kJ 热量，产生 1014 kJ 的功，其余热量排向 30 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 350 °CT_L = 30 °CQ_H = 3900 kJW = 1014 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 0.6 m；波在其上以 180 m/s 传播。求其第 2 次谐波的频率 f₂。

v = 180 m/sn = 2L = 0.6 m

f₂ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 300 mm⁻¹λ = 532 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 64.81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1200) = 64.81 m/s

答案

v = 64.81 m/s

(233.3 km/h)

2.运动学

答案: t = 27 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·6 = 12 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 12/3 = 4 s

总时间

t = 6 + 17 + 4 = 27 s

答案

t = 27 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 5.434 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·7.454) = 5.434 m

答案

d = 5.434 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 21.17 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 130°) = 21.17 m/s

答案

v₀ = 21.17 m/s

6.抛体运动

答案: α = 57.74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 33·cos 50° = 21.21 m/s

v_y0 = 33·sin 50° = 25.28 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(25.28² + 2·9.81·25) = 33.61 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 33.61/21.21 → α = 57.74°

答案

α = 57.74°

7.功和能

答案: T = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 90°) = 15.7 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·15.7/0.8 = 58.86 N

答案

T = 58.86 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 58.86 N。

8.功和能

答案: x = 17.44 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.25·2.5) = 38.01 J

最大压缩量

½kx² = 38.01 → x = √(2·38.01/2500) = 0.1744 m = 17.44 cm

答案

x = 17.44 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 230.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.15) = 1.716 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2)·1.716/0.015 = 230.5 m/s

答案

v = 230.5 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 19.23 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·4.5) = 8.137 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·8.137/1100 = 19.23 m/s

答案

v₁ = 19.23 m/s

(69.24 km/h)

11.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·9 = 226.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 6.75/(2.5·9) = 2.8 m

答案

y_cp = 2.8 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 122.9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(125/250)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·47000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.01 m/s

v₁ = 2.503 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01227·10.01 = 0.1229 m³/s = 122.9 L/s

答案

Q = 122.9 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 4.37 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(20000/1000 + 9.81·2)) = 8.902 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·8.902 = 0.00437 m³/s = 4.37 L/s

答案

Q = 4.37 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 18 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 130/28.01 = 4.641 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 4.641·8.314·373.1/800 = 18 L

答案

V = 18 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 14.13 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 950·39.95/(8.314·323.1) = 14.13 kg/m³

答案

ρ = 14.13 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2047 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/848.1 = 66.03 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6603·3100 = 2047 kJ

答案

W_max = 2047 kJ

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 3.262 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 3900 − 1014 = 2886 kJ

绝对温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −3900/623.1 = −6.259 kJ/K

ΔS_L = 2886/303.1 = 9.52 kJ/K

S_gen = 9.52 − 6.259 = 3.262 kJ/K

答案

S_gen = 3.262 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f₂ = 300 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.6/2 = 0.6 m

频率

f = v/λ = 180/0.6 = 300 Hz

答案

f₂ = 300 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 18.61 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·532 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.3192

θ = 18.61°

答案

θ₂ = 18.61°

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