大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 0.8 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.3 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2.5 m/sd = 1.3 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 80 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgF = 80 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 19 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 10 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 10 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 13 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 9 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 40 kPa。水从水面以下 1 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 40 kPa (表压)h = 1 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 240 g CH₄，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 240 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 400 kPa、5 L、35 °C 变化到 250 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 250 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 250 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 12 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 12 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = 15 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.3 mm 的两条缝。在 1 m 外的屏上，第 3 条亮条纹距中央条纹 4.8 mm。求波长 λ。

d = 0.3 mmL = 1 my₃ = 4.8 mmm = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 19.11 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·0.8 = 8 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4.5) = 11.11 m

合计

d = 8 + 11.11 = 19.11 m

答案

d = 19.11 m

2.运动学

答案: d = 74 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1406 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1406))/(2·4.905) = 3.884 s

深度

d = ½·9.81·3.884² = 74 m

答案

d = 74 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.245

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.3) = 2.404 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.404/9.81 = 0.245

答案

μ = 0.245

4.牛顿定律

答案: a = 5.173 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 12.75)/13 = 5.173 m/s²

答案

a = 5.173 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 16.51 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 30° = 31.18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 30° = 18 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

答案

H = 16.51 m

6.抛体运动

答案: v = 30.82 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 19·cos 30° = 16.45 m/s

v_y0 = 19·sin 30° = 9.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.5² + 2·9.81·30) = 26.05 m/s

落水速度

v = √(16.45² + 26.05²) = 30.82 m/s

答案

v = 30.82 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: P = 20.34 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 300 = 813.4 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 813.4·25 = 20335 W = 20.34 kW

答案

P = 20.34 kW

8.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10 − 5) = 98.1 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·98.1/2.5 − 19.62 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 3.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 2)/(4 + 2)·11 = 3.667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2)·11 = 14.67 m/s

答案

v′₁ = 3.667 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 125 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(12 + 13) = 2.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.5/0.02 = 125 N

答案

F_avg = 125 N

11.静水压力

答案: F = 275.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN

答案

F = 275.9 kN

12.静水压力

答案: F = 56.56 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.25·4.5 = 56.56 kN

答案

F = 56.56 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 4.243 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·9000/1000) = 4.243 m/s

答案

v = 4.243 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 12.54 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(40000/1000 + 9.81·1)) = 9.981 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·9.981 = 0.01254 m³/s = 12.54 L/s

答案

Q = 12.54 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 3833 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 240/16.04 = 14.96 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 14.96·8.314·308.1/0.01 = 3833 kPa

答案

P = 3833 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 12.02 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(400/250)·(463.1/308.1) = 12.02 L

答案

V₂ = 12.02 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 43.01 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/523.1 = 43.01 %

答案

η_max = 43.01 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.6912 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 278.1) = 17.36

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 12/17.36 = 0.6912 kW

答案

Ẇ_min = 0.6912 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = 60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 60 cm

20.波、声与光学

答案: λ = 480 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.0048·0.0003/(3·1) = 4.8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

答案

λ = 480 nm

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