大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.6 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 0.6 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 140 Nθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 10 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 10 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 15° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 2 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 16 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 16 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 14 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 260 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 25 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 290 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 460 g N₂，温度为 0 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 460 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 100 kPa、2 L、30 °C 变化到 150 kPa 和 240 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 225 °C 的热源吸收 3400 kJ 热量，放出 2274 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 225 °CQ_H = 3400 kJQ_L = 2274 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1000 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 25 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 1000 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

对于入射角大于 45° 的每一个角度，透明块内的光在与火石玻璃（n = 1.62）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 45°n₂ = 1.62

n₁ =

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求 2.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 450 nma = 0.12 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 29.84 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.6 = 10 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

合计

d = 10 + 19.84 = 29.84 m

答案

d = 29.84 m

2.运动学

答案: t = 2.63 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.63 s

答案

t = 2.63 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.769 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 140·sin 40° = 57.16 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 107.2 − 5.716

a = 101.5/15 = 6.769 m/s²

答案

a = 6.769 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 12.72 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·5.199) = 12.72 m

答案

d = 12.72 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 10.22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·10/sin 70°) = 10.22 m/s

答案

v₀ = 10.22 m/s

6.抛体运动

答案: α = 52.36 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 28·cos 15° = 27.05 m/s

v_y0 = 28·sin 15° = 7.247 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.247² + 2·9.81·60) = 35.07 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 35.07/27.05 → α = 52.36°

答案

α = 52.36°

7.功和能

答案: T = 5.886 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 90°) = 39.24 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·39.24/2 = 5.886 N

答案

T = 5.886 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.886 N。

8.功和能

答案: v = 10.85 m/s

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 10) = 117.7 m²/s²

v = 10.85 m/s

答案

v = 10.85 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.9091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·10 = 0.9091 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·10 = 10.91 m/s

答案

v′₁ = 0.9091 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 10.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(9 + 14) = 10.35 N·s

答案

J = 10.35 N·s

11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

12.静水压力

答案: F = 259.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN

答案

F = 259.6 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 257.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/75)² = 2.667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 2.667²)/1000 = −2.431 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 260 + (−2.431) = 257.6 kPa

答案

p₂ = 257.6 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 179.6 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−31.88) − 78.48 = 179.6 kPa

答案

p₂ = 179.6 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 3730 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 460/28.01 = 16.42 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

压强

P = nRT/V = 16.42·8.314·273.1/0.01 = 3730 kPa

答案

P = 3730 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.257 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 513.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(100/150)·(513.1/303.1) = 2.257 L

答案

V₂ = 2.257 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 60.02 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·2274/3400 = 333.2 K = 60.02 °C

答案

T_L = 60.02 °C

18.热机和制冷机

答案: T_m = 343 °C

绝对温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1273·298.1) = 616.1 K = 343 °C

答案

T_m = 343 °C

19.波、声与光学

答案: n₁ = 2.291

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.62/0.7071 = 2.291

答案

n₁ = 2.291

20.波、声与光学

答案: w = 18.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2.5/(0.12 × 10⁻³) = 9.375 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 18.75 mm

答案

w = 18.75 mm

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