大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 20° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 2 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 7.5 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 16 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 70°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 8 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 47 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 8 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 25 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5 m，流量系数为 0.64。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 30 mmh = 5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 390 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

450 g He在 200 kPa 和 90 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 450 gM = 4.003 g/molP = 200 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 200 kPa、2 L、40 °C 变化到 100 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 40 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 300 °C 的热源吸收 2500 kJ 热量，放出 1213 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 300 °CQ_H = 2500 kJQ_L = 1213 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 4 °C，以 0.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

对于入射角大于 38° 的每一个角度，透明块内的光在与冕牌玻璃（n = 1.50）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 38°n₂ = 1.50

n₁ =

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 10 m/s 的速度远离的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.778 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/6 = 2.778 s

答案

t = 2.778 s

2.运动学

答案: t = 4.917 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.917 s

答案

t = 4.917 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.355 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答案

a = 3.355 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 26.91 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 11.25 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.214 N

系统的加速度

a = (73.58 − 11.25 − 3.214)/9.5 = 6.222 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 6.222) = 26.91 N

答案

T = 26.91 N

5.抛体运动

答案: H = 4.674 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 20° = 26.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 20° = 9.577 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.577²/(2·9.81) = 4.674 m

答案

H = 4.674 m

6.抛体运动

答案: H = 36.52 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 16·sin 70° = 15.04 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 15.04²/(2·9.81) = 11.52 m

离地面的高度

H = 25 + 11.52 = 36.52 m

答案

H = 36.52 m

7.功和能

答案: P = 16.27 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 300 = 813.4 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 813.4·20 = 16268 W = 16.27 kW

答案

P = 16.27 kW

8.功和能

答案: v = 5.187 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·2 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·2 = 3.924 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 94.18 → v = √(2·94.18/7) = 5.187 m/s

答案

v = 5.187 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −128.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 9·8 = 72 kg·m/s

碰撞后的动量

72 = 7·47 + 2·v′₂

v′₂ = (72 − 329)/2 = −128.5 m/s

答案

v′₂ = −128.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 128 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(7 + 25) = 3.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.2/0.025 = 128 N

答案

F_avg = 128 N

11.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

12.静水压力

答案: F = 45.25 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.5·3 = 45.25 kN

答案

F = 45.25 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 4.481 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0007069·9.905 = 0.004481 m³/s = 4.481 L/s

答案

Q = 4.481 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 320.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/100)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−0.5078) − 68.67 = 320.8 kPa

答案

p₂ = 320.8 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 1697 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 450/4.003 = 112.4 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体积

V = nRT/P = 112.4·8.314·363.1/200 = 1697 L

答案

V = 1697 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 5.916 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/100)·(463.1/313.1) = 5.916 L

答案

V₂ = 5.916 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 4.942 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573.1·1213/2500 = 278.1 K = 4.942 °C

答案

T_L = 4.942 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.04691 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(303.1 − 277.1) = 10.66

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/10.66 = 0.04691 kW

答案

Ẇ_min = 0.04691 kW

19.波、声与光学

答案: n₁ = 2.436

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.50/0.6157 = 2.436

答案

n₁ = 2.436

20.波、声与光学

答案: f_b = 1133 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 − 10)/343 = 19417 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 10) = 18867 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1133 Hz

答案

f_b = 1133 Hz

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