大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?20

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 14 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 30°a = ?m = 16 kg

一个 16 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
12 kg6 kgTF = 110 Nμ = 0.25

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。 求连接绳中的拉力 T。

m1 = 12 kgm2 = 6 kgF = 110 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 38 m/sθ = ?R = 105 m

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 105 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 25 mv0​ = 28 m/s60°α = ?

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 28 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²
α = °
7.功和能中等
25°d = 12 mμ = 0.15

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 12 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 12 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 2.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 500 N/m

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
1.5 kg5 m/s1 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 1.5 kgm2 = 1 kgv1 = 5 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
15 m/s12 m/s

一个 0.3 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgvin = 15 m/svout = 12 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 350 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 350 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 290 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
210 g CO₂V = 20 LT = 65 °CP = ?

容积为 20 L 的容器中装有 210 g CO₂，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 210 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的O₂从 100 kPa、2 L、40 °C 变化到 650 kPa 和 50 °C。求新的体积 V2。

P1 = 100 kPaV1 = 2 LT1 = 40 °CP2 = 650 kPaT2 = 50 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 600 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​W

一台热机在 600 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 600 °CTL = 25 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 800 °CT0​ = 25 °CTL​ = -30 °CERWQ̇H​ = 30 kWQ̇L​ = ?

一台卡诺热机从 800 °C 的热源吸收 30 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -30 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇L。

TH = 800 °CT0 = 25 °CTL = -30 °CQ̇H = 30 kW
Q̇L = kW
19.波、声与光学中等
S34 m/sOf = 1200 Hz

频率为 1200 Hz 的声源以 34 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1200 Hzv = 343 m/svs = 34 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
λ = ?d = 0.5 mmL = 3 m11.7 mm

用单色光照射相距 0.5 mm 的两条缝。在 3 m 外的屏上，第 3 条亮条纹距中央条纹 11.7 mm。求波长 λ。

d = 0.5 mmL = 3 my3 = 11.7 mmm = 3
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.077 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/6.5 = 3.077 s

答案

t = 3.077 s
2.运动学

答案: t = 4.282 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 14·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 14·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.282 s

答案

t = 4.282 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 73.33 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (110 − 44.15)/18 = 3.659 m/s²

单独分析后面的物块

T = m1·(a + μ·g) = 12·(3.659 + 2.453) = 73.33 N

答案

T = 73.33 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 22.75 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·105/38² = 0.7133

相角

2θ = 45.51° → θ = 22.75°

答案

θ = 22.75°

另一个解为 90° − θ = 67.25°。

6.抛体运动

答案: α = 66.91 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 28·cos 60° = 14 m/s
vy0 = 28·sin 60° = 24.25 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(24.25² + 2·9.81·25) = 32.84 m/s

落地角度

tan α = vy/vx = 32.84/14 → α = 66.91°

答案

α = 66.91°
7.功和能

答案: v = 8.215 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·12·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 8.215 m/s

答案

v = 8.215 m/s
8.功和能

答案: x = 58.76 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.1·3) = 86.33 J

最大压缩量

½kx² = 86.33 → x = √(2·86.33/500) = 0.5876 m = 58.76 cm

答案

x = 58.76 cm
9.动量与碰撞

答案: v′1 = 1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·5 = 1 m/s
v′2 = 2·1.5/(1.5 + 1)·5 = 6 m/s

答案

v′1 = 1 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 8.1 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(12 + 15) = 8.1 N·s

答案

J = 8.1 N·s
11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
12.静水压力

答案: F = 148.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·6 = 148.3 kN

答案

F = 148.3 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 339.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/40)² = 4.688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 4.688²)/1000 = −10.71 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−10.71) = 339.3 kPa

答案

p2 = 339.3 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 204.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−6.752) − 78.48 = 204.8 kPa

答案

p2 = 204.8 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 670.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 210/44.01 = 4.772 mol
T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 4.772·8.314·338.1/0.02 = 670.7 kPa

答案

P = 670.7 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 0.3175 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 323.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(100/650)·(323.1/313.1) = 0.3175 L

答案

V2 = 0.3175 L
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 65.85 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/873.1 = 65.85 %

答案

ηmax = 65.85 %
18.热机和制冷机

答案: Q̇L = 95.78 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
T0 = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -30 + 273.15 = 243.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/1073 = 0.7222
Ẇ = 0.7222·30 = 21.67 kW

制冷机排出的热量

COPR = 243.1/(298.1 − 243.1) = 4.421
Q̇L = 4.421·21.67 = 95.78 kW

答案

Q̇L = 95.78 kW
19.波、声与光学

答案: f′ = 1092 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 1200·(343 − 0)/(343 + 34)
f′ = 1092 Hz

答案

f′ = 1092 Hz
20.波、声与光学

答案: λ = 650 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.0117·0.0005/(3·3) = 6.5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

答案

λ = 650 nm

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