大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 19 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 19 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 30 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 30 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 55 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgF = 55 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 70° 的角度朝 73 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 70°x = 73 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 1500 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 12 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。9 kg 的碎片以 29 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 12 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 29 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1700 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1500 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 25 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 36 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

180 g Ar在 700 kPa 和 75 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 180 gM = 39.95 g/molP = 700 kPaT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 800 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 800 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 700 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 700 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 1 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 10 m/s 的速度远离频率为 1000 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 30 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −15 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 30 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/3 = 5 s

答案

t = 5 s

2.运动学

答案: s = 444.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·7 = 17.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·7² = 61.25 m

s₂ = 17.5·19 = 332.5 m

s₃ = 17.5²/(2·3) = 51.04 m

总距离

s = 61.25 + 332.5 + 51.04 = 444.8 m

答案

s = 444.8 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.5067 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 30·sin 15° = 188.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 28.98 − 18.84

a = 10.13/20 = 0.5067 m/s²

答案

a = 0.5067 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 49.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 29.43)/10 = 2.557 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(2.557 + 2.943) = 49.5 N

答案

T = 49.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 60.91 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 40·cos 70° = 13.68 m/s

t = x/v_x = 73/13.68 = 5.336 s

此时的高度

y = 37.59·5.336 − ½·9.81·5.336² = 60.91 m

答案

y = 60.91 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 29.83 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 20° = 10.34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 20° = 3.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 3.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.762 + √(14.15 + 588.6))/9.81 = 2.886 s

水平距离

x = v_x·t = 10.34·2.886 = 29.83 m

答案

x = 29.83 m

7.功和能

答案: h = 0.6116 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1500·0.04² = 1.2 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.2/1.962 = 0.6116 m

答案

h = 0.6116 m

8.功和能

答案: x = 43.17 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.1·2) = 372.8 J

最大压缩量

½kx² = 372.8 → x = √(2·372.8/4000) = 0.4317 m = 43.17 cm

答案

x = 43.17 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −64.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 11·12 = 132 kg·m/s

碰撞后的动量

132 = 9·29 + 2·v′₂

v′₂ = (132 − 261)/2 = −64.5 m/s

答案

v′₂ = −64.5 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 14.81 m/s

动量分量

p_x = 1500·14 = 21000 kg·m/s

p_y = 1700·25 = 42500 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 47405/3200 = 14.81 m/s

答案

v′ = 14.81 m/s

11.静水压力

答案: F = 33.11 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

答案

F = 33.11 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.125/(4.5·1.5) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 181.4 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0.3164))) = 10.26 m/s

v₁ = 5.773 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·10.26 = 0.1814 m³/s = 181.4 L/s

答案

Q = 181.4 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 283.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(200/100)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−37.97) − 78.48 = 283.6 kPa

答案

p₂ = 283.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 18.63 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 180/39.95 = 4.506 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

体积

V = nRT/P = 4.506·8.314·348.1/700 = 18.63 L

答案

V = 18.63 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 9.345 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 800·44.01/(8.314·453.1) = 9.345 kg/m³

答案

ρ = 9.345 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 70.9 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/973.1 = 70.9 %

答案

η_max = 70.9 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.109 kW

绝对温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/9.172 = 0.109 kW

答案

Ẇ_min = 0.109 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 970.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 970.8 Hz

答案

f′ = 970.8 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −30 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/15 → d_i1 = 60 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 30 − 60 = −30 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−30) → d_i2 = −30 cm

答案

d_i2 = −30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers