大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 0.8 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 26 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 26 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 70 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 70 Nθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.4d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 29 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 39 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 300 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 39 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 300 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 300 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

300 g CH₄在 700 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 300 gM = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 950 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 950 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 800 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 800 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 1 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 28 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 1 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

频率为 440 Hz、速度为 34 m/s 的声源与速度为 20 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.5 mm 的两条缝。在 1 m 外的屏上，第 2 条亮条纹距中央条纹 2.4 mm。求波长 λ。

d = 0.5 mmL = 1 my₂ = 2.4 mmm = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 23.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.8 = 11.11 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·8) = 12.06 m

合计

d = 11.11 + 12.06 = 23.17 m

答案

d = 23.17 m

2.运动学

答案: h_max = 47.45 m

动力阶段

v₁ = 26·1 = 26 m/s

h₁ = ½·26·1² = 13 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 26²/(2·9.81) = 34.45 m

h_max = 13 + 34.45 = 47.45 m

答案

h_max = 47.45 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.5429 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 70·sin 40° = 200.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 53.62 − 40.05

a = 13.57/25 = 0.5429 m/s²

答案

a = 0.5429 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.238 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·7.234) = 6.238 m

答案

d = 6.238 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 17.7 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 110°) = 17.7 m/s

答案

v₀ = 17.7 m/s

6.抛体运动

答案: x = 102.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 15° = 29.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 15° = 8.023 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 8.023·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.023 + √(64.37 + 588.6))/9.81 = 3.423 s

水平距离

x = v_x·t = 29.94·3.423 = 102.5 m

答案

x = 102.5 m

7.功和能

答案: W_f = 210.4 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.4·37.57 = 15.03 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 15.03·14 = 210.4 J

答案

W_f = 210.4 J

8.功和能

答案: x = 38.36 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.25·5) = 147.2 J

最大压缩量

½kx² = 147.2 → x = √(2·147.2/2000) = 0.3836 m = 38.36 cm

答案

x = 38.36 cm

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 103680 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·24/1500 = 9.6 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·24² = 172800 J

K_after = ½·1500·9.6² = 69120 J

损失的能量

ΔK = 172800 − 69120 = 103680 J

答案

ΔK = 103680 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: J = 22.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(8 + 29) = 22.2 N·s

答案

J = 22.2 N·s

11.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·4.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 5.636 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.5·4.5 = 213.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.5 + 3.375/(5.5·4.5) = 5.636 m

答案

y_cp = 5.636 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 309.9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.039/0.01767 = 2.207 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.039/0.007854 = 4.966 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 300 + ½·1000·(4.966² − 2.207²)/1000 = 300 + 9.893 = 309.9 kPa

答案

p₁ = 309.9 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 255.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(150/100)² = 6.188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−15.36) − 29.43 = 255.2 kPa

答案

p₂ = 255.2 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 65.12 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 300/16.04 = 18.7 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 18.7·8.314·293.1/700 = 65.12 L

答案

V = 65.12 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 10.86 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 950·44.01/(8.314·463.1) = 10.86 kg/m³

答案

ρ = 10.86 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 74.08 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/1073 = 74.08 %

答案

η_max = 74.08 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 10.58

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(301.1 − 275.1) = 10.58

答案

COP_max = 10.58

19.波、声与光学

答案: f′ = 516.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 20)/(343 − 34)

f′ = 516.9 Hz

答案

f′ = 516.9 Hz

20.波、声与光学

答案: λ = 600 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.0024·0.0005/(2·1) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

答案

λ = 600 nm

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