大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 10 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 8 st₂ = 10 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 7 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 25 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 7 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgF = 90 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 4°F_r = 200 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgL = 1.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 120 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 120 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

470 g O₂在 300 kPa 和 55 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 470 gM = 32 g/molP = 300 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 200 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 200 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 9 kW 的热量使冷库保持在 5 °C，并向 25 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 5 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 2.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 2.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 72 dB 的声级。当 2 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 72 dBn = 2

β = dB

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = −15 cm。一个物体位于透镜 1 前 30 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 10 cmf₂ = −15 cms = 25 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 56.82 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5.5) = 56.82 m

答案

s = 56.82 m

2.运动学

答案: s = 400 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·8 = 24 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·3·8² = 96 m

s₂ = 24·10 = 240 m

s₃ = 24²/(2·4.5) = 64 m

总距离

s = 96 + 240 + 64 = 400 m

答案

s = 400 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.0999

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·25) = 0.98 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.98/9.81 = 0.0999

答案

μ = 0.0999

4.牛顿定律

答案: a = 9.288 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 15.7)/8 = 9.288 m/s²

答案

a = 9.288 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 9.786 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13.86 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 13.86²/(2·9.81) = 9.786 m

答案

H = 9.786 m

6.抛体运动

答案: x = 39.76 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 15° = 17.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 15° = 4.659 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 4.659·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.659 + √(21.7 + 294.3))/9.81 = 2.287 s

水平距离

x = v_x·t = 17.39·2.287 = 39.76 m

答案

x = 39.76 m

7.功和能

答案: P = 15.69 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 4° = 1369 N

F = 1369 + 200 = 1569 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1569·10 = 15686 W = 15.69 kW

答案

P = 15.69 kW

8.功和能

答案: x = 25.73 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.1·3) = 66.22 J

最大压缩量

½kx² = 66.22 → x = √(2·66.22/2000) = 0.2573 m = 25.73 cm

答案

x = 25.73 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.75 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1.5)/(2.5 + 1.5)·7 = 1.75 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1.5)·7 = 8.75 m/s

答案

v′₁ = 1.75 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 201.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 20°) = 0.1146 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1146) = 1.499 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.015·1.499/0.015 = 201.4 m/s

答案

v = 201.4 m/s

11.静水压力

答案: F = 64.38 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答案

F = 64.38 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.481 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·2.5 = 56.56 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 1.302/(2.25·2.5) = 2.481 m

答案

y_cp = 2.481 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 103.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−6.752) = 103.2 kPa

答案

p₂ = 103.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 43.66 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(200/100)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−56.72) − 19.62 = 43.66 kPa

答案

p₂ = 43.66 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 133.6 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 470/32 = 14.69 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体积

V = nRT/P = 14.69·8.314·328.1/300 = 133.6 L

答案

V = 133.6 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.2125 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 200·4.003/(8.314·453.1) = 0.2125 kg/m³

答案

ρ = 0.2125 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 9.647 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·298.1/278.1 = 9.647 kW

答案

Q̇_H = 9.647 kW

输入功率：Ẇ = 0.6471 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.38 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(303.1 − 263.1) = 6.579

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2.5/6.579 = 0.38 kW

答案

Ẇ_min = 0.38 kW

19.波、声与光学

答案: β = 75.01 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 2·I₁

难度

β = 72 + 10·log₁₀(2) = 75.01 dB

答案

β = 75.01 dB

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −6 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/10 − 1/30 → d_i1 = 15 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 25 − 15 = 10 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/10 → d_i2 = −6 cm

答案

d_i2 = −6 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers