大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 26 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 26 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 6 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 4.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 6 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 40°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.25d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 19 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。13 kg 的碎片以 35 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 19 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 35 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 1200 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 75 mm。入口处的压强比喉部高 34 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

410 g CO₂在 350 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 410 gM = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 350 kPa 和 40 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 350 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 250 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 250 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 10 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

频率为 1200 Hz 的声源以 15 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光垂直照射在每毫米 200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 200 mm⁻¹λ = 532 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 225.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/6 = 8.667 s

距离

d = v·t = 26·8.667 = 225.3 m

答案

d = 225.3 m

此时警车的速度为 2v = 52 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 16.83 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

h_max = 15 + 1.835 = 16.83 m

答案

h_max = 16.83 m

3.牛顿定律

答案: T = 56.51 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 4.5)·9.81/(8 + 4.5) = 2.747 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 4.5·(9.81 + 2.747) = 56.51 N

答案

T = 56.51 N

4.牛顿定律

答案: T = 24.28 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/10 = 4.415 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·4.415 + 0 = 24.28 N

答案

T = 24.28 N

5.抛体运动

答案: x = 101.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 25° = 32.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 25° = 15.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.21/9.81 = 3.102 s

水平距离

x = v_x·t = 32.63·3.102 = 101.2 m

答案

x = 101.2 m

6.抛体运动

答案: x = 153.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 30.64 m/s, v_y = 25.71 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

6 = 25.71·t − 4.905·t²

t = (25.71 + √(25.71² − 2·9.81·6))/9.81 = 4.997 s

水平距离

x = v_x·t = 30.64·4.997 = 153.1 m

答案

x = 153.1 m

7.功和能

答案: v = 4.385 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 4.385 m/s

答案

v = 4.385 m/s

8.功和能

答案: x = 13.65 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.1·1) = 37.28 J

最大压缩量

½kx² = 37.28 → x = √(2·37.28/4000) = 0.1365 m = 13.65 cm

答案

x = 13.65 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −10.71 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 20·19 = 380 kg·m/s

碰撞后的动量

380 = 13·35 + 7·v′₂

v′₂ = (380 − 455)/7 = −10.71 m/s

答案

v′₂ = −10.71 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 10.26 m/s

动量分量

p_x = 1200·15 = 18000 kg·m/s

p_y = 1200·14 = 16800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 24622/2400 = 10.26 m/s

答案

v′ = 10.26 m/s

11.静水压力

答案: F = 209.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·4.5 = 209.7 kN

答案

F = 209.7 kN

12.静水压力

答案: F = 90.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·3 = 90.5 kN

答案

F = 90.5 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 37.63 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·34000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.517 m/s

v₁ = 2.129 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·8.517 = 0.03763 m³/s = 37.63 L/s

答案

Q = 37.63 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 247.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−3.174) − 39.24 = 247.6 kPa

答案

p₂ = 247.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 82.58 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 410/44.01 = 9.316 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 9.316·8.314·373.1/350 = 82.58 L

答案

V = 82.58 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.5381 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 350·4.003/(8.314·313.1) = 0.5381 kg/m³

答案

ρ = 0.5381 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 43.01 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/523.1 = 43.01 %

答案

η_max = 43.01 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.5082 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/19.68 = 0.5082 kW

答案

Ẇ_min = 0.5082 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 1150 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 1150 Hz

答案

f′ = 1150 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₁ = 6.108 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·532 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.1064

θ = 6.108°

答案

θ₁ = 6.108°

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