大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 4.6 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°10 kgF = ?

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
F = N
4.牛顿定律困难
θ = 20°物块v₀ = 6 m/s

一个物块被推了一下，以 6 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 6 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
d = m
5.抛体运动中等
v0​ = ?55°R = 75 m

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 55°R = 75 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 15 m/s25°射程

一个球 从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 15 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
40°d = 2 mμ = 0.2

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 5000 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
2.5 kgv = ?12 gh = 23 cm

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 23 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2.5 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
18 m/s8 m/s

一个 0.2 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.2 kgvin = 18 m/svout = 8 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 1 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 60 kPa

水以 13 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 60 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 13 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 60 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
14.连续性和伯努利困难
C211 m2 md = 40 mmpC​ = ?

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 2 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmzC = +1 mz2 = −2 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
15.理想气体定律中等
390 g O₂P = 400 kPaT = 90 °CV = ?

390 g O₂在 400 kPa 和 90 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 390 gM = 32 g/molP = 400 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的N₂从 350 kPa、2 L、40 °C 变化到 500 kPa 和 230 °C。求新的体积 V2。

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 40 °CP2 = 500 kPaT2 = 230 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 700 °CTL​ = 5 °CEQH​QL​W

一台热机在 700 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 700 °CTL = 5 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 21 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 6 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 6 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 21 °CTL = 7 °CQ̇H = 6 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
L = 0.4 mn = 5

两端开口的管长 0.4 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f5。

v = 343 m/sn = 5L = 0.4 m
f5 = Hz
20.波、声与光学困难
SO25 m/sf = 25 kHz

静止的泊车传感器向以 25 m/s 的速度远离的汽车发射 25 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/5 = 3.333 s

答案

t = 3.333 s
2.运动学

答案: d = 92.03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.6 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1578))/(2·4.905) = 4.332 s

深度

d = ½·9.81·4.332² = 92.03 m

答案

d = 92.03 m
3.牛顿定律

答案: F = 50.35 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 41.46 + 8.891 = 50.35 N

答案

F = 50.35 N
4.牛顿定律

答案: d = 4.209 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·4.277) = 4.209 m

答案

d = 4.209 m
5.抛体运动

答案: v0 = 27.98 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 110°) = 27.98 m/s

答案

v0 = 27.98 m/s
6.抛体运动

答案: t = 1.845 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 15·cos 25° = 13.59 m/s
vy = v0·sin θ = 15·sin 25° = 6.339 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 6.339·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (6.339 + √(40.19 + 98.1))/9.81 = 1.845 s

答案

t = 1.845 s
7.功和能

答案: Wf = 15.03 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N
F = μN = 0.2·37.57 = 7.515 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 7.515·2 = 15.03 J

答案

Wf = 15.03 J
8.功和能

答案: v = 8.016 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.15·1.5) = 16.06 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.275) = 8.016 m/s

答案

v = 8.016 m/s
9.动量与碰撞

答案: v = 444.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2.5)·2.124/0.012 = 444.7 m/s

答案

v = 444.7 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 520 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(8 + 18) = 5.2 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 5.2/0.01 = 520 N

答案

Favg = 520 N
11.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN
12.静水压力

答案: ycp = 4.789 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 4 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.5625/(4.75·3) = 4.789 m

答案

ycp = 4.789 m
13.连续性和伯努利

答案: p1 = 62.96 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.013/0.007854 = 1.655 m/s
v2 = Q/A2 = 0.013/0.004418 = 2.943 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 60 + ½·1000·(2.943² − 1.655²)/1000 = 60 + 2.96 = 62.96 kPa

答案

p1 = 62.96 kPa
14.连续性和伯努利

答案: pC = 71.87 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(6.264²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 29.43 = 71.87 kPa

答案

pC = 71.87 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 91.99 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 390/32 = 12.19 mol
T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体积

V = nRT/P = 12.19·8.314·363.1/400 = 91.99 L

答案

V = 91.99 L
16.理想气体定律

答案: V2 = 2.249 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 503.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/500)·(503.1/313.1) = 2.249 L

答案

V2 = 2.249 L
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 71.42 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 700 + 273.15 = 973.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278.1/973.1 = 71.42 %

答案

ηmax = 71.42 %
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.2856 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 6/21.01 = 0.2856 kW

答案

Ẇmin = 0.2856 kW
19.波、声与光学

答案: f5 = 2144 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.4/5 = 0.16 m

频率

f = v/λ = 343/0.16 = 2144 Hz

答案

f5 = 2144 Hz
20.波、声与光学

答案: f″ = 21603 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 − 25)/343 = 23178 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 25) = 21603 Hz

答案

f″ = 21603 Hz

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