大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.5 s30

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/htr = 0.5 sa = −6 m/s²
d = m
2.运动学困难
v₀ = 5 m/s10 m

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 25°45 kgF = ?

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
F = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 2 kg3.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 2 kgm2 = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 14 m/s25°射程

一个球 从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 14 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
h = 35 mv0​ = 30 m/s15°射程

一个球 从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 30 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.功和能中等
0.05 kgk = 1000 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²
h = m
8.功和能困难
h = 2 mL = 5 mμ = 0.2k = 800 N/m

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 5 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
3 kg10 m/s4 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 3 kgm2 = 4 kgv1 = 10 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
2000 kgv1​ = ?2000 kg

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。

m1 = 2000 kgm2 = 2000 kgd = 16 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
v = ?p0​pp0​ − p = 24 kPa驻点

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 24 kPa。求测头处的水流速度 v。

p0 − p = 24 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 220 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 220 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 220 kPav1 = 2 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
180 g CH₄V = 30 LT = 20 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 180 g CH₄，温度为 20 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 180 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的CO₂从 200 kPa、20 L、40 °C 变化到 200 kPa 和 200 °C。求新的体积 V2。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 200 kPaT2 = 200 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 525 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​W

一台热机在 525 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 525 °CTL = 35 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 35 °CTL​ = -25 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1.5 kWẆ

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -25 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。 求可能的最高性能系数 COPmax。

TH = 35 °CTL = -25 °CQ̇L = 1.5 kW
COPmax =
19.波、声与光学中等
L = 0.4 mn = 3

两端固定的弦长 0.4 m；波在其上以 120 m/s 传播。求其第 3 次谐波的频率 f3。

v = 120 m/sn = 3L = 0.4 m
f3 = Hz
20.波、声与光学困难
SO15 m/sf = 20 kHz

静止的传感器向以 15 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 90 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 30·0.5 = 15 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

合计

d = 15 + 75 = 90 m

答案

d = 90 m
2.运动学

答案: t = 2.026 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 5·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 5·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.026 s

答案

t = 2.026 s
3.牛顿定律

答案: F = 266.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 186.6 + 80.02 = 266.6 N

答案

F = 266.6 N
4.牛顿定律

答案: a = 5.529 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (34.34 − 3.924)/5.5 = 5.529 m/s²

答案

a = 5.529 m/s²
5.抛体运动

答案: t = 1.206 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·5.917/9.81 = 1.206 s

答案

t = 1.206 s
6.抛体运动

答案: t = 3.578 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 30·cos 15° = 28.98 m/s
vy = v0·sin θ = 30·sin 15° = 7.765 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 7.765·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (7.765 + √(60.29 + 686.7))/9.81 = 3.578 s

答案

t = 3.578 s
7.功和能

答案: h = 10.19 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m
½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N
h = ½kx²/(mg) = 5/0.4905 = 10.19 m

答案

h = 10.19 m
8.功和能

答案: x = 22.15 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.2·5) = 19.62 J

最大压缩量

½kx² = 19.62 → x = √(2·19.62/800) = 0.2215 m = 22.15 cm

答案

x = 22.15 cm
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 8.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 4)/(3 + 4)·10 = −1.429 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 4)·10 = 8.571 m/s

答案

v′2 = 8.571 m/s
10.动量与碰撞

答案: v1 = 29.65 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·16) = 14.82 m/s

碰撞中的动量

m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 4000·14.82/2000 = 29.65 m/s

答案

v1 = 29.65 m/s
(106.7 km/h)
11.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN
12.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
13.连续性和伯努利

答案: v = 6.928 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·24000/1000) = 6.928 m/s

答案

v = 6.928 m/s
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 162.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−8.125) − 49.05 = 162.8 kPa

答案

p2 = 162.8 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 911.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 180/16.04 = 11.22 mol
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

压强

P = nRT/V = 11.22·8.314·293.1/0.03 = 911.7 kPa

答案

P = 911.7 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 30.22 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 313.1 K, T2 = 473.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/200)·(473.1/313.1) = 30.22 L

答案

V2 = 30.22 L
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 61.39 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 525 + 273.15 = 798.1 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308.1/798.1 = 61.39 %

答案

ηmax = 61.39 %
18.热机和制冷机

答案: COPmax = 4.136

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 35 + 273.15 = 308.1 K
TL = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 248.1/(308.1 − 248.1) = 4.136

答案

COPmax = 4.136
19.波、声与光学

答案: f3 = 450 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.4/3 = 0.2667 m

频率

f = v/λ = 120/0.2667 = 450 Hz

答案

f3 = 450 Hz
20.波、声与光学

答案: fb = 1829 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

拍频

fb = |f″ − f| = 1829 Hz

答案

fb = 1829 Hz

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