大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.75 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 10 kg 和 7.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 7.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 25 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 29 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 55°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 200 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 28 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。11 kg 的碎片以 36 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 28 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 36 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 19 m/sv_out = 11 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 380 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

340 g Ar在 700 kPa 和 15 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 340 gM = 39.95 g/molP = 700 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 800 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 800 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 9 kW 的热量使冷库保持在 2 °C，并向 40 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 2 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 0 °C 的热源吸热，向 22 °C 的供暖系统提供 15 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 55%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °Cη_II = 55%Q̇_H = 15 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

光在冕牌玻璃（n = 1.50）中向与亚克力（n = 1.49）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.50n₂ = 1.49

θ_c = °

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = 15 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = 15 cms = 60 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 102.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.75·1400) = 102.5 m/s

答案

v = 102.5 m/s

(368.9 km/h)

2.运动学

答案: t = 3.357 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.357 s

答案

t = 3.357 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.401 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (10 − 7.5)·9.81/(10 + 7.5) = 1.401 m/s²

答案

a = 1.401 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.257 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·5.755) = 4.257 m

答案

d = 4.257 m

5.抛体运动

答案: θ = 18.91 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/20² = 0.6131

相角

2θ = 37.82° → θ = 18.91°

答案

θ = 18.91°

另一个解为 90° − θ = 71.09°。

6.抛体运动

答案: x = 78.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16.63 m/s, v_y = 23.76 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 23.76·t − 4.905·t²

t = (23.76 + √(23.76² − 2·9.81·3))/9.81 = 4.713 s

水平距离

x = v_x·t = 16.63·4.713 = 78.4 m

答案

x = 78.4 m

7.功和能

答案: h = 0.2548 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·200·0.05² = 0.25 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.25/0.981 = 0.2548 m

答案

h = 0.2548 m

8.功和能

答案: v = 4.646 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.3·3) = 43.16 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.1) = 4.646 m/s

答案

v = 4.646 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −16 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 13·28 = 364 kg·m/s

碰撞后的动量

364 = 11·36 + 2·v′₂

v′₂ = (364 − 396)/2 = −16 m/s

答案

v′₂ = −16 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 187.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(11 + 19) = 7.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 7.5/0.04 = 187.5 N

答案

F_avg = 187.5 N

11.静水压力

答案: F = 14.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1 = 14.71 kN

答案

F = 14.71 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 2/(1.5·6) = 1.722 m

答案

y_cp = 1.722 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 370 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−10) = 370 kPa

答案

p₂ = 370 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 284 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 14.06²)/1000 = −96.35 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−96.35) − 19.62 = 284 kPa

答案

p₂ = 284 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 29.13 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 340/39.95 = 8.511 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

体积

V = nRT/P = 8.511·8.314·288.1/700 = 29.13 L

答案

V = 29.13 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 10.5 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 800·32/(8.314·293.1) = 10.5 kg/m³

答案

ρ = 10.5 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 10.24 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·313.1/275.1 = 10.24 kW

答案

Q̇_H = 10.24 kW

输入功率：Ẇ = 1.243 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.033 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

COP = 0.55·13.42 = 7.379

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 15/7.379 = 2.033 kW

答案

Ẇ = 2.033 kW

19.波、声与光学

答案: θ_c = 83.38 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.50 = 0.9933

临界角

θc = arcsin(0.9933) = 83.38°

答案

θ_c = 83.38°

20.波、声与光学

答案: d_i2 = 17.14 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/15 → d_i1 = −60 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − (−60) = 120 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/15 − 1/120 → d_i2 = 17.14 cm

答案

d_i2 = 17.14 cm

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