大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 40 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 23 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1600 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 26 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 13 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 13 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 180 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 330 g CO₂，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 330 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 900 kPa 和 100 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 900 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 800 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 36%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 800 °CT_L = 35 °Cη = 36%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 450 °C 的热源吸收 600 kJ 热量，产生 174 kJ 的功，其余热量排向 35 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 450 °CT_L = 35 °CQ_H = 600 kJW = 174 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 95 dB。忽略吸收和反射，求 80 m 处的声级 β₂。

β₁ = 95 dBr₁ = 10 mr₂ = 80 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 500 nma = 0.08 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 81.82 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5.5) = 81.82 m

答案

s = 81.82 m

2.运动学

答案: h_max = 634.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 40·2.5 = 100 m/s

h₁ = ½·40·2.5² = 125 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 100²/(2·9.81) = 509.7 m

h_max = 125 + 509.7 = 634.7 m

答案

h_max = 634.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 9.5 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·6.369) = 9.5 m

答案

d = 9.5 m

5.抛体运动

答案: t = 2.573 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·12.62/9.81 = 2.573 s

答案

t = 2.573 s

6.抛体运动

答案: H = 63.26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 33·sin 35° = 18.93 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 18.93²/(2·9.81) = 18.26 m

离地面的高度

H = 45 + 18.26 = 63.26 m

答案

H = 63.26 m

7.功和能

答案: T = 16.82 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 50°) = 7.009 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·7.009/1 = 16.82 N

答案

T = 16.82 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。

8.功和能

答案: v = 6.457 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.25·1.5) = 10.42 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.125) = 6.457 m/s

答案

v = 6.457 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 23.81 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·23/2100 = 17.52 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·23² = 423200 J

K_after = ½·2100·17.52² = 322438 J

损失的比例

ΔK/K = 100762/423200 = 23.81 %

答案

ΔK/K = 23.81 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 2700 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(19 + 26) = 27 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 27/0.01 = 2700 N

答案

F_avg = 2700 N

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.889 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·2.5 = 94.27 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 1.302/(3.75·2.5) = 3.889 m

答案

y_cp = 3.889 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 5.099 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·13000/1000) = 5.099 m/s

答案

v = 5.099 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 144.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−6.221) − 29.43 = 144.3 kPa

答案

p₂ = 144.3 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 1054 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 330/44.01 = 7.498 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 7.498·8.314·338.1/0.02 = 1054 kPa

答案

P = 1054 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 12.77 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 900·44.01/(8.314·373.1) = 12.77 kg/m³

答案

ρ = 12.77 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 50.5 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 308.1/1073 = 71.29 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 36/71.29 = 50.5 %

答案

η_II = 50.5 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 0.5527 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 600 − 174 = 426 kJ

绝对温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −600/723.1 = −0.8297 kJ/K

ΔS_L = 426/308.1 = 1.382 kJ/K

S_gen = 1.382 − 0.8297 = 0.5527 kJ/K

答案

S_gen = 0.5527 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: β₂ = 76.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/80)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0.01563) = 76.94 dB

答案

β₂ = 76.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: w = 12.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1/(0.08 × 10⁻³) = 6.25 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 12.5 mm

答案

w = 12.5 mm

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