大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 14 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 15 mv_0B = 14 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 16 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8 m/sd = 16 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 6.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 6.5 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 2 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 11 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 35 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 35 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 160 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 30 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 160 kPa (表压)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 360 g Ar，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 360 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 600 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 850 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 36%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 850 °CT_L = 35 °Cη = 36%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 0.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 20 cmf = 30 cm

h_i = cm

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 40 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 40 cmR = 30 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: s = 55.11 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7) = 55.11 m

答案

s = 55.11 m

2.运动学

答案: y = 9.369 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 15/14 = 1.071 s

相遇高度

y = 14·1.071 − ½·9.81·1.071² = 9.369 m

答案

y = 9.369 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2039

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·16) = 2 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9.81 = 0.2039

答案

μ = 0.2039

4.牛顿定律

答案: d = 6.059 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·3.487) = 6.059 m

答案

d = 6.059 m

5.抛体运动

答案: t = 2.883 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.14/9.81 = 2.883 s

答案

t = 2.883 s

6.抛体运动

答案: t = 4.192 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 40° = 14.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 40° = 12.21 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 12.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.21 + √(149.2 + 686.7))/9.81 = 4.192 s

答案

t = 4.192 s

7.功和能

答案: T = 4.544 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 70°) = 25.82 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·25.82/2 = 4.544 N

答案

T = 4.544 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 4.544 N。

8.功和能

答案: x = 11.61 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.25·2.5) = 6.744 J

最大压缩量

½kx² = 6.744 → x = √(2·6.744/1000) = 0.1161 m = 11.61 cm

答案

x = 11.61 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·4 = 1.6 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·4 = 5.6 m/s

答案

v′₁ = 1.6 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 2970 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(16 + 11) = 14.85 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14.85/0.005 = 2970 N

答案

F_avg = 2970 N

11.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

12.静水压力

答案: F = 66.22 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

答案

F = 66.22 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 8.367 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·35000/1000) = 8.367 m/s

答案

v = 8.367 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 13.4 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(160000/1000 + 9.81·2)) = 18.95 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·18.95 = 0.0134 m³/s = 13.4 L/s

答案

Q = 13.4 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 506.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 360/39.95 = 9.011 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 9.011·8.314·338.1/0.05 = 506.7 kPa

答案

P = 506.7 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 7.167 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 600·44.01/(8.314·443.1) = 7.167 kg/m³

答案

ρ = 7.167 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 49.61 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 308.1/1123 = 72.56 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 36/72.56 = 49.61 %

答案

η_II = 49.61 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.05452 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/9.172 = 0.05452 kW

答案

Ẇ_min = 0.05452 kW

19.波、声与光学

答案: h_i = 3 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/20

d_i = −60 cm

放大率与像高

m = −(−60)/20 = 3

h_i = 3·1 = 3 cm

答案

h_i = 3 cm

20.波、声与光学

答案: m = −0.6

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/40

d_i = 24 cm

放大率

m = −24/40 = −0.6

答案

m = −0.6

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