大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 50 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 90 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 90 Nθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 24 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 10 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 260 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 10 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 260 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 390 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

240 g CO₂在 650 kPa 和 40 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 240 gM = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 800 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 800 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 775 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3800 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 775 °CT_L = 5 °CQ_H = 3800 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 650 °C 的热源吸收 170 kW 热量，并向 30 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -5 °C 的冷冻室排出热量，也向 30 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 650 °CT₀ = 30 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 170 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄发散透镜前 18 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 18 cmf = −8 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求 2.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 450 nma = 0.12 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 8.333 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8.333 m

答案

s = 8.333 m

2.运动学

答案: t = 1.852 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 50/27 = 1.852 s

答案

t = 1.852 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.191 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 90·sin 25° = 207.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 81.57 − 51.8

a = 29.76/25 = 1.191 m/s²

答案

a = 1.191 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 5.956 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 2.453)/7 = 5.956 m/s²

答案

a = 5.956 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 38.32 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16.38 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.38/9.81 = 3.34 s

水平距离

x = v_x·t = 11.47·3.34 = 38.32 m

答案

x = 38.32 m

6.抛体运动

答案: t = 3.558 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 15° = 23.18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 15° = 6.212 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 6.212·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.212 + √(38.58 + 784.8))/9.81 = 3.558 s

答案

t = 3.558 s

7.功和能

答案: v = 4.866 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 4.866 m/s

答案

v = 4.866 m/s

8.功和能

答案: d = 1.174 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(4.905·(0.4226 + 0.3·0.9063)) = 1.174 m

答案

d = 1.174 m

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.9091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·2 = −0.9091 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·2 = 1.091 m/s

答案

v′₁ = −0.9091 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: J = 2.9 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(5 + 24) = 2.9 N·s

答案

J = 2.9 N·s

11.静水压力

答案: F = 235.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答案

F = 235.4 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.939 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.75·3.75 = 127.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.953/(2.75·3.75) = 2.939 m

答案

y_cp = 2.939 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 272.2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.01/0.001963 = 5.093 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 260 + ½·1000·(5.093² − 1.273²)/1000 = 260 + 12.16 = 272.2 kPa

答案

p₁ = 272.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 320.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/100)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−1.143) − 68.67 = 320.2 kPa

答案

p₂ = 320.2 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 21.84 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 240/44.01 = 5.453 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体积

V = nRT/P = 5.453·8.314·313.1/650 = 21.84 L

答案

V = 21.84 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 3.563 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 800·16.04/(8.314·433.1) = 3.563 kg/m³

答案

ρ = 3.563 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2792 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/1048 = 73.46 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.7346·3800 = 2792 kJ

答案

W_max = 2792 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 874.7 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

热机的功

η = 1 − 303.1/923.1 = 0.6716

Ẇ = 0.6716·170 = 114.2 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 268.1/(303.1 − 268.1) = 7.661

Q̇_L = 7.661·114.2 = 874.7 kW

答案

Q̇_L = 874.7 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = −5.538 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/18

d_i = −5.538 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −5.538 cm

20.波、声与光学

答案: w = 18.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2.5/(0.12 × 10⁻³) = 9.375 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 18.75 mm

答案

w = 18.75 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers