大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 17 m/s25 m

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 17 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
箱子v₀ = 10.5 m/sμ = ?

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 19 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 19 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
m1​ = 3 kg5.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 3 kgm2 = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 20 m/s70°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 20 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
8 mv0​ = 28 m/s70°x = ?

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 70°hroof = 8 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
20°d = 7 mμ = 0.25

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
h = 20 mR = 5 mN = ?

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 20 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 20 mR = 5 mg = 9.81 m/s²
N = N
9.动量与碰撞中等
3 kg6 m/s4.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 3 kgm2 = 4.5 kgv1 = 6 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
17 m/s12 m/s

一个 0.4 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgvin = 17 m/svout = 12 m/sΔt = 40 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 1 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 110 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 110 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
C213 m4 md = 40 mmpC​ = ?

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 3 m，出口（通大气）低于水面 4 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmzC = +3 mz2 = −4 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
15.理想气体定律中等
210 g N₂P = 500 kPaT = 80 °CV = ?

210 g N₂在 500 kPa 和 80 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 210 gM = 28.01 g/molP = 500 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 190 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 650 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 850 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​η = 47%

一台热机从 850 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 47%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 850 °CTL = 40 °Cη = 47%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 22 °CTL​ = 0 °CHPQ̇H​ = 13 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 13 kW 热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 22 °CTL = 0 °CQ̇H = 13 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
P4 × 72 dB

一台机器在某点产生 72 dB 的声级。当 4 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β1 = 72 dBn = 4
β = dB
20.波、声与光学困难
λ = ?41.3°

一个每毫米 400 条刻线的光栅，在偏离直进方向 41.3° 处出现某条谱线的第 3 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 400 mm⁻¹θ3 = 41.3°m = 3
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.564 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/6.5 = 2.564 s

答案

t = 2.564 s
2.运动学

答案: hmax = 39.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

hmax = 25 + 14.73 = 39.73 m

答案

hmax = 39.73 m
3.牛顿定律

答案: μ = 0.2958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·19) = 2.901 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.901/9.81 = 0.2958

答案

μ = 0.2958
4.牛顿定律

答案: T = 19.04 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 0)/8.5 = 6.348 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 3·6.348 + 0 = 19.04 N

答案

T = 19.04 N
5.抛体运动

答案: x = 26.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 20·cos 70° = 6.84 m/s
vy = v0·sin θ = 20·sin 70° = 18.79 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·18.79/9.81 = 3.832 s

水平距离

x = vx·t = 6.84·3.832 = 26.21 m

答案

x = 26.21 m
6.抛体运动

答案: x = 48.27 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 9.577 m/s, vy = 26.31 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 26.31·t − 4.905·t²
t = (26.31 + √(26.31² − 2·9.81·8))/9.81 = 5.041 s

水平距离

x = vx·t = 9.577·5.041 = 48.27 m

答案

x = 48.27 m
7.功和能

答案: v = 3.835 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·7·(0.342 − 0.25·0.9397)) = 3.835 m/s

答案

v = 3.835 m/s
8.功和能

答案: N = 294.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(20 − 10) = 196.2 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
N = mv²/R − mg = 10·196.2/5 − 98.1 = 294.3 N

答案

N = 294.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′1 = −1.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3 − 4.5)/(3 + 4.5)·6 = −1.2 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 4.5)·6 = 4.8 m/s

答案

v′1 = −1.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: J = 11.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(12 + 17) = 11.6 N·s

答案

J = 11.6 N·s
11.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·3 = 113.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 0.5625/(3.75·3) = 3.8 m

答案

ycp = 3.8 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 109.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 110 + (−0.5078) = 109.5 kPa

答案

p2 = 109.5 kPa
14.连续性和伯努利

答案: pC = 32.63 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(8.859²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 68.67 = 32.63 kPa

答案

pC = 32.63 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 44.03 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 210/28.01 = 7.497 mol
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体积

V = nRT/P = 7.497·8.314·353.1/500 = 44.03 L

答案

V = 44.03 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 7.429 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·463.1) = 7.429 kg/m³

答案

ρ = 7.429 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηII = 65.17 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 313.1/1123 = 72.12 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 47/72.12 = 65.17 %

答案

ηII = 65.17 %
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.969 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 22 + 273.15 = 295.1 K
TL = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇H/COP = 13/13.42 = 0.969 kW

答案

Ẇmin = 0.969 kW
19.波、声与光学

答案: β = 78.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 4·I₁

难度

β = 72 + 10·log₁₀(4) = 78.02 dB

答案

β = 78.02 dB
20.波、声与光学

答案: λ = 550 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 2.5 × 10⁻⁶·sin 41.3°/3 = 550 nm

答案

λ = 550 nm

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