大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.2 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 6 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 30 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 450 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 450 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3.5 kgL = 1.8 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 27 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 27 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 20 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmp₁ = 20 kPa (表压)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

460 g CH₄在 250 kPa 和 75 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 460 gM = 16.04 g/molP = 250 kPaT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 150 kPa、10 L、25 °C 变化到 200 kPa 和 100 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 15 °C 的环境放热。其实际热效率为 49%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 550 °CT_L = 15 °Cη = 49%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 5 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

频率为 400 Hz 的声源以 25 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.48，包层 n₂ = 1.47。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.48n₂ = 1.47n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 30.45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.2 = 16.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m

合计

d = 16.67 + 13.78 = 30.45 m

答案

d = 30.45 m

2.运动学

答案: h_max = 272.8 m

动力阶段

v₁ = 32·2 = 64 m/s

h₁ = ½·32·2² = 64 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 64²/(2·9.81) = 208.8 m

h_max = 64 + 208.8 = 272.8 m

答案

h_max = 272.8 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.401 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 6)·9.81/(8 + 6) = 1.401 m/s²

答案

a = 1.401 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.502 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 2.943)/3 = 5.559 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·5.559 + 2.943 = 8.502 N

答案

T = 8.502 N

5.抛体运动

答案: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/30² = 0.4905

相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答案

θ = 14.69°

另一个解为 90° − θ = 75.31°。

6.抛体运动

答案: t = 4.051 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7.524 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 7.524·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.524 + √(56.62 + 981))/9.81 = 4.051 s

答案

t = 4.051 s

7.功和能

答案: P = 9.634 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 450 = 963.4 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 963.4·10 = 9634 W = 9.634 kW

答案

P = 9.634 kW

8.功和能

答案: x = 14.69 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1.5 − 0.1·4) = 21.58 J

最大压缩量

½kx² = 21.58 → x = √(2·21.58/2000) = 0.1469 m = 14.69 cm

答案

x = 14.69 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·7 = −4.2 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·7 = 2.8 m/s

答案

v′₂ = 2.8 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 481 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 15°) = 0.06133 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06133) = 1.097 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.508·1.097/0.008 = 481 m/s

答案

v = 481 m/s

11.静水压力

答案: F = 485.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN

答案

F = 485.6 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 7.348 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·27000/1000) = 7.348 m/s

答案

v = 7.348 m/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 2.047 m

出口流速

β = 25/100 = 0.25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0.9961)) = 6.337 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 6.337²/(2·9.81) = 2.047 m

答案

H = 2.047 m

15.理想气体定律

答案: V = 332 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 460/16.04 = 28.68 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

体积

V = nRT/P = 28.68·8.314·348.1/250 = 332 L

答案

V = 332 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 9.387 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 373.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/200)·(373.1/298.1) = 9.387 L

答案

V₂ = 9.387 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 75.39 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 288.1/823.1 = 64.99 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 49/64.99 = 75.39 %

答案

η_II = 75.39 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.3727 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 5/13.42 = 0.3727 kW

答案

Ẇ_min = 0.3727 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 372.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 372.8 Hz

答案

f′ = 372.8 Hz

20.波、声与光学

答案: θ_a = 9.89 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.47/1.48 = 0.9932 → θc = 83.34°

数值孔径

NA = √(1.48² − 1.47²) = 0.1718

接收角

θ_a = arcsin(0.1718) = 9.89°

答案

θ_a = 9.89°

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