大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 20 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 35 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 40°x = 35 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 11 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.4d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 0.9 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 4.5 kgL = 0.9 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 400 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 140 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 140 kPa (表压)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

10 g N₂在 250 kPa 和 85 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 10 gM = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 350 kPa、10 L、10 °C 变化到 600 kPa 和 210 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 600 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 42%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 600 °CT_L = 40 °Cη = 42%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 30 °C 的厨房中将冷藏室保持在 4 °C，以 1 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 30 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 10 m/s 的速度朝频率为 1200 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.25 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.25 mmL = 1 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4.5) = 25 m

答案

s = 25 m

2.运动学

答案: y = 16.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 20/25 = 0.8 s

相遇高度

y = 25·0.8 − ½·9.81·0.8² = 16.86 m

答案

y = 16.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 35.9 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 27.96)/13.5 = 0.8357 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·0.8357 + 27.96 = 35.9 N

答案

T = 35.9 N

5.抛体运动

答案: y = 11.59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 24·cos 40° = 18.39 m/s

t = x/v_x = 35/18.39 = 1.904 s

此时的高度

y = 15.43·1.904 − ½·9.81·1.904² = 11.59 m

答案

y = 11.59 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 16.34 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 30° = 9.526 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 30° = 5.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 5.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.5 + √(30.25 + 98.1))/9.81 = 1.716 s

水平距离

x = v_x·t = 9.526·1.716 = 16.34 m

答案

x = 16.34 m

7.功和能

答案: W_f = 59.47 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.4·21.24 = 8.496 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.496·7 = 59.47 J

答案

W_f = 59.47 J

8.功和能

答案: v = 9.526 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.25·1.5) = 90.74 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.625) = 9.526 m/s

答案

v = 9.526 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·8 = 4 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·8 = 12 m/s

答案

v′₁ = 4 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 1386 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 30°) = 0.1206 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.505·1.538/0.005 = 1386 m/s

答案

v = 1386 m/s

11.静水压力

答案: F = 208.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN

答案

F = 208.5 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·7.5 = 132 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 3.906/(1.75·7.5) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 389.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/50)² = 5.063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−10.28) = 389.7 kPa

答案

p₂ = 389.7 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 15.53 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 40/75 = 0.5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9191)) = 17.45 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 17.45²/(2·9.81) = 15.53 m

答案

H = 15.53 m

15.理想气体定律

答案: V = 4.252 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 10/28.01 = 0.357 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体积

V = nRT/P = 0.357·8.314·358.1/250 = 4.252 L

答案

V = 4.252 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 9.954 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 483.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/600)·(483.1/283.1) = 9.954 L

答案

V₂ = 9.954 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 65.49 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 313.1/873.1 = 64.14 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 42/64.14 = 65.49 %

答案

η_II = 65.49 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.09381 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(303.1 − 277.1) = 10.66

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/10.66 = 0.09381 kW

答案

Ẇ_min = 0.09381 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 1235 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 10)/(343 − 0)

f′ = 1235 Hz

答案

f′ = 1235 Hz

20.波、声与光学

答案: Δy = 2.4 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0.25 × 10⁻³) = 2.4 mm

答案

Δy = 2.4 mm

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