大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 4 m/s²汽车27 m/s

一辆以恒定的 27 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 27 m/sapolice = 4 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
a = 24 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 24 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 24 m/s²t1 = 1.5 sg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 45°a = ?m = 17 kg

一个 17 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 2 kg4.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 2 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 36 m/sθ = ?R = 85 m

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
14 mv0​ = 35 m/s70°x = ?

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 14 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 70°hroof = 14 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
20°d = 14 mμ = 0.2

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.2d = 14 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
k = 1000 N/m20°μ = 0.31 kg

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
d = m
9.动量与碰撞中等
1600 kg16 m/s700 kg

一辆以 16 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 700 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 1600 kgv1 = 16 m/sm2 = 700 kgv2 = 0
ΔK = J
10.动量与碰撞困难
3 kgv = ?10 g35°L = 1.2 m

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3 kgL = 1.2 mθ = 35°g = 9.81 m/s²
v = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 1 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0.63h = 1 m

水从一个大型敞口水箱经直径 50 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 50 mmh = 1 mCd = 0.63g = 9.81 m/s²
Q = L/s
14.连续性和伯努利困难
pair​ = 20 kPaQ = ?d = 40 mmh = 5 m

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 20 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 流量 Q。 取 g = 9.81 m/s²。

pair = 20 kPa (表压)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
250 g CO₂P = 100 kPaT = 80 °CV = ?

250 g CO₂在 100 kPa 和 80 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 250 gM = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
Ar, M = 39.95 g/molP = 150 kPaT = 80 °Cρ = ?

按理想气体处理，求Ar在 150 kPa 和 80 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 150 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 625 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​W

一台热机在 625 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。 求可能的最高热效率 ηmax。

TH = 625 °CTL = 15 °C
ηmax = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 300 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 1500 kJQL​ = 1050 kJW = 450 kJ

一台热机每个循环从 300 °C 的热源吸收 1500 kJ 热量，产生 450 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 300 °CTL = 15 °CQH = 1500 kJW = 450 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
S25 m/sO20 m/sf = 1000 Hz

频率为 1000 Hz、速度为 25 m/s 的声源与速度为 20 m/s 的观察者相互远离。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/svs = 25 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
Fdo​ = 20 cmR = 60 cm

一个物体位于曲率半径为 60 cm 的凹面镜前 20 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

do = 20 cmR = 60 cm
m =

3溶液

1.运动学

答案: t = 13.5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/4 = 13.5 s

答案

t = 13.5 s

此时警车的速度为 2v = 54 m/s。

2.运动学

答案: t = 9.525 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 24·1.5 = 36 m/s
h₁ = ½·24·1.5² = 27 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (36 + √(36² + 2·9.81·27))/9.81 = 8.025 s
t = 1.5 + 8.025 = 9.525 s

答案

t = 9.525 s
3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 6.037 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 4.905)/6.5 = 6.037 m/s²

答案

a = 6.037 m/s²
5.抛体运动

答案: θ = 20.02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/36² = 0.6434

相角

2θ = 40.05° → θ = 20.02°

答案

θ = 20.02°

另一个解为 90° − θ = 69.98°。

6.抛体运动

答案: x = 74.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 11.97 m/s, vy = 32.89 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

14 = 32.89·t − 4.905·t²
t = (32.89 + √(32.89² − 2·9.81·14))/9.81 = 6.248 s

水平距离

x = vx·t = 11.97·6.248 = 74.8 m

答案

x = 74.8 m
7.功和能

答案: v = 6.506 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·14·(0.342 − 0.2·0.9397)) = 6.506 m/s

答案

v = 6.506 m/s
8.功和能

答案: d = 0.8169 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m
½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 5/(9.81·(0.342 + 0.3·0.9397)) = 0.8169 m

答案

d = 0.8169 m
9.动量与碰撞

答案: ΔK = 62330 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1600·16/2300 = 11.13 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1600·16² = 204800 J
Kafter = ½·2300·11.13² = 142470 J

损失的能量

ΔK = 204800 − 142470 = 62330 J

答案

ΔK = 62330 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v = 621.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 35°) = 0.217 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.217) = 2.063 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.01·2.063/0.01 = 621.1 m/s

答案

v = 621.1 m/s
11.静水压力

答案: F = 275.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN

答案

F = 275.9 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
闸门d = 3 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·1 = 43.26 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 0.08333/(3.5·1) = 3.524 m

答案

ycp = 3.524 m
13.连续性和伯努利

答案: Q = 5.479 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.63·0.001963·4.429 = 0.005479 m³/s = 5.479 L/s

答案

Q = 5.479 L/s
14.连续性和伯努利

答案: Q = 14.77 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(20000/1000 + 9.81·5)) = 11.75 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·11.75 = 0.01477 m³/s = 14.77 L/s

答案

Q = 14.77 L/s
15.理想气体定律

答案: V = 166.8 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 250/44.01 = 5.681 mol
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体积

V = nRT/P = 5.681·8.314·353.1/100 = 166.8 L

答案

V = 166.8 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 2.041 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 150·39.95/(8.314·353.1) = 2.041 kg/m³

答案

ρ = 2.041 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηmax = 67.92 %

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/898.1 = 67.92 %

答案

ηmax = 67.92 %
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 1.027 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 1500 − 450 = 1050 kJ

绝对温度

TH = 300 + 273.15 = 573.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔSH = −1500/573.1 = −2.617 kJ/K
ΔSL = 1050/288.1 = 3.644 kJ/K
Sgen = 3.644 − 2.617 = 1.027 kJ/K

答案

Sgen = 1.027 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f′ = 877.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 1000·(343 − 20)/(343 + 25)
f′ = 877.7 Hz

答案

f′ = 877.7 Hz
20.波、声与光学

答案: m = 3

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 30 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/30 − 1/20
di = −60 cm
F20 cmf = 30 cm

放大率

m = −(−60)/20 = 3

答案

m = 3

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