电力系统与电机：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

直流电机

电枢回路: V = E + I_aR_a
反电动势与转矩: E = k·ω, T = k·I_a
速率: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
空载转速与堵转转矩: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
各功率: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
起动: I_start = V/(R_a + R_st)
转速调整率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大电磁功率: P_max = V²/(4R_a)
斩波驱动: V_a = D·V_dc

方法

画出电枢回路：电源 V、电阻 R_a 和反电动势 E 串联。
用 V = E + I_a·R_a 把电压、电流和反电动势联系起来。
转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·I_a，其中 ω = 2π·n/60。
对于功率和效率，从 V·I_a 出发，减去铜损 I_a²·R_a，再减去旋转损耗。

2练习题

1.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 15 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 I_L。

P_out = 15 kWη = 90%cos φ = 0.82V_L = 690 V

I_L = A

2.三相电困难

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 75 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.变压器中等

一台匝数比 N₁:N₂ = 10:1 的理想变压器，一次绕组加 2300 V 电压。二次绕组两端接一个 30 Ω 的电阻。求一次电流 I₁。

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 30 Ω

I₁ = A

4.变压器困难

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 600 W。在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 97%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAP_core = 600 Wpf = 0.8η = 97%

P_cu,fl = W

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.65（滞后）。求线路电流 I。

P = 25 kWpf = 0.65V = 240 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。求电容需提供的无功功率 Q_C。

P = 35 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

I = A

8.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

V_L = V

9.直流电机中等

某直流电机（k = 0.8 N·m/A，R_a = 0.2 Ω）由 120 V 供电，带动 32 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。

V = 120 Vk = 0.8 N·m/AR_a = 0.2 ΩT = 32 N·m

n = rpm

10.直流电机困难

某 48 V 直流电机的电枢电阻为 0.8 Ω。求把起动电流限制在 10 A 的串联起动电阻 R_st。

V = 48 VR_a = 0.8 ΩI_max = 10 A

R_st = Ω

3溶液

1.三相电

答案: I_L = 17.01 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 15/0.9 = 16.67 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16667/(√3·690·0.82) = 17.01 A

答案

I_L = 17.01 A

2.三相电

答案: C_ph = 658.1 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.72) = 75·0.9639 = 72.29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 47.64 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 15879/(314.2·277.1²) = 658.1 µF

答案

C_ph = 658.1 µF

3.变压器

答案: I₁ = 0.7667 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/30 = 7.667 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/10 = 0.7667 A

答案

I₁ = 0.7667 A

验算：从一次侧看负载为 a²·R_L = 3000 Ω，2300/3000 得到相同的电流。

4.变压器

答案: P_cu,fl = 1874 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 100·0.8 = 80 kW

P_in = 80000/0.97 = 82474 W

总损耗和铜损

P_loss = 82474 − 80000 = 2474 W

P_cu,fl = 2474 − 600 = 1874 W

答案

P_cu,fl = 1874 W

5.交流功率和功率因数

答案: I = 160.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 25000/(240·0.65) = 160.3 A

答案

I = 160.3 A

6.交流功率和功率因数

答案: Q_C = 23.97 kvar

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(49.46°) = 40.92 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23.97 kvar

答案

Q_C = 23.97 kvar

7.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2389 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−4.894)²) = 50.24 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/50.24 = 0.2389 A

答案

I = 0.2389 A

8.交流阻抗和相量

答案: V_L = 9.724 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0.06667 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 1459·0.1 = 145.9 Ω

V_L = I·X_L = 0.06667·145.9 = 9.724 V

答案

V_L = 9.724 V

这是电源电压的 Q = 9.724 倍。

9.直流电机

答案: n = 1337 rpm

直流电机：电枢是电阻 R_a 与反电动势 E 串联，所以 V = E + I_a·R_a。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·I_a；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·I_a = T·ω；输入功率为 V·I_a，差值由铜损 I_a²R_a 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − R_a·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/R_a 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/R_a 很大，除非用电阻限流。

电枢电流

I_a = T/k = 32/0.8 = 40 A

反电动势与转速

E = 120 − 40·0.2 = 112 V

ω = E/k = 140 rad/s → n = 1337 rpm

答案

n = 1337 rpm

10.直流电机

答案: R_st = 4 Ω

总电阻

R_a + R_st = 48/10 = 4.8 Ω

起动电阻

R_st = 4.8 − 0.8 = 4 Ω

答案

R_st = 4 Ω

随着电机加速、反电动势增大，电阻被逐级切除。

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