描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
实验中使用标准化指导语是为了：
- A使结果具有统计显著性
- B让所有参与者以相同的方式获得相同的信息
- C研究者可以根据每位参与者的需要调整程序
- D让参与者自己选择条件
2.心理学研究方法困难
因焦虑分数极高而被选中的患者，即使没有接受治疗，在第二次测验时分数也降低了。最可能的解释是什么？
- A霍桑效应
- B平衡抵消
- C天花板效应
- D向平均数回归
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 16, 58, 15, 56, 45。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 79 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 15x = 79
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 4
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €20，以概率 0.05 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€20: p = 0.15€200: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62 和 77 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 77
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分95%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 114.5，标准差 s = 12.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 20x̄ = 114.5s = 12.595%t(19) = 2.093
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 20.5 kg，标准差 6 kg。地块组 2：12 块地，均值 22.5 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 9x̄₁ = 20.5s₁ = 6n₂ = 12x̄₂ = 22.5s₂ = 7.595%t(19) = 2.093
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 141.5 mm，该生产线的已知标准差为 19 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 145.9 mm，已知标准差为 16 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 141.5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 40x̄₂ = 145.9 mmσ₂ = 16 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 199%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 68？
n = 5ŷ = 68
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 让所有参与者以相同的方式获得相同的信息
为什么是这个答案
标准化消除了程序差异这一无关变量，并使研究可以重复。
答案
B · 让所有参与者以相同的方式获得相同的信息
2.心理学研究方法
答案: D · 向平均数回归
为什么是这个答案
当人们因极端分数而被选中时，测量误差和偶然因素使他们以后的分数倾向于向平均数靠拢。控制组有助于把这种现象与治疗效果区分开来。
答案
D · 向平均数回归
3.描述统计
答案: s = 20.93
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 206/6 = 34.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−18.33)² + (−18.33)² + 23.67² + (−19.33)² + 21.67² + 10.67² = 2189
标准差
s = √(2189/5) = 20.93
答案
s = 20.93
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (79 − 70)/15 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: P = 0.5177
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答案
P = 0.5177
6.概率
答案: E(G) = 3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.15), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 10·0.15 + 190·0.05 − 10·0.8 = 3 €
答案
E(G) = 3 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.5028
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (62 − 65)/10 = −0.3
z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−0.3) = 0.8849 − 0.3821 = 0.5028
答案
P = 0.5028
8.正态分布
答案: x = 124.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 100 + 1.64·15 = 124.6 分
答案
x = 124.6 分
9.置信区间
答案: 上限 = 120.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.093
误差范围
E = 2.093·12.5/√20 = 5.85
区间
114.5 ± 5.85 → [108.6, 120.4]
答案
上限 = 120.4
10.置信区间
答案: E = 6.376 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·6² + 11·7.5²)/19 = 47.72
sp = 6.908
误差范围
E = 2.093·6.908·√(1/9 + 1/12) = 6.376
答案
E = 6.376 kg
11.假设检验与置信区间
答案: z = −1.192
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(19²/50 + 16²/40) = √13.62 = 3.691
检验统计量
z = (141.5 − 145.9)/3.691 = −1.192
答案
z = −1.192
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 956
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·12/1)² = 955.6
向上取整
n = 956
答案
n = 956
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9966
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 79/5 = 15.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Syy = Σ(y − ȳ)² = 282.8
相关系数
r = 106/√(40·282.8) = 0.9966
答案
r = 0.9966
14.线性回归与相关
答案: x = 17.05
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 362/5 = 72.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
回归直线
b = 186/40 = 4.65
a = 72.4 − 4.65·18 = −11.3
ŷ = −11.3 + 4.65·x
解出 x
x = (68 − (−11.3))/4.65 = 17.05
答案
x = 17.05
15.卡方检验
答案: χ² = 10.77
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 40·55/100 = 22, 40·45/100 = 18
安慰剂: 60·55/100 = 33, 60·45/100 = 27
卡方统计量
χ² = (30 − 22)²/22 + (10 − 18)²/18 + (25 − 33)²/33 + (35 − 27)²/27
χ² = 10.77
答案
χ² = 10.77
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 50
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 48, 32
生产线 2: 24, 16
生产线 3: 48, 32
卡方统计量
χ² = (64 − 48)²/48 + (16 − 32)²/32 + (32 − 24)²/24 + (8 − 16)²/16 + (24 − 48)²/48 + (56 − 32)²/32
χ² = 50
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
50 > 9.210
答案
χ² = 50
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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