心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

在完全正态分布中：

A大多数分数位于尾部
B平均数、中位数和众数相等
C平均数总是大于中位数
D众数是最低分

2.心理学研究方法困难

心理学中的"可重复性危机"指的是：

A实验参与者短缺
B法律要求期刊拒绝所有提交的重复研究
C未经许可复制问卷
D许多已发表的结果在新研究中无法重现

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 36, 25, 40, 14。

n = 5

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 160 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 5x = 160

z =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.25, 0.1

Var(X) =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.25Y = 0.5X − 3

σ_Y =

7.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 99.9 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99.9 s

P =

8.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 105，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 105s = 795%t(29) = 2.045

下限 =

10.置信区间困难

总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 35E = 399%

n =

11.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 197.2，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 197.2s = 10n = 25

t =

12.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 113 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 68 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 68n₂ = 200

z =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 8 时的 ŷ。

n = 5x = 8

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: B · 平均数、中位数和众数相等

为什么是这个答案

正态分布是对称的钟形，因此三种集中趋势指标都落在中心。

答案

B · 平均数、中位数和众数相等

2.心理学研究方法

答案: D · 许多已发表的结果在新研究中无法重现

为什么是这个答案

大型重复项目发现许多效应更小或根本不存在，这与发表偏差、小样本和灵活的分析有关。预注册是应对措施之一。

答案

D · 许多已发表的结果在新研究中无法重现

3.描述统计

答案: s = 10.24

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 147/5 = 29.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 2.6² + 6.6² + (−4.4)² + 10.6² + (−15.4)² = 419.2

标准差

s = √(419.2/4) = 10.24

答案

s = 10.24

4.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (160 − 170)/5 = −2

答案

z = −2

5.概率

答案: Var(X) = 1.91

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.1 = 2.7

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.1 = 9.2

方差

Var(X) = 9.2 − 2.7² = 1.91

答案

Var(X) = 1.91

6.概率

答案: σ_Y = 0.5585

X 的离散程度

μ = 1.55, Var(X) = 1.247, σ_X = 1.117

线性变换

σ_Y = |0.5|·1.117 = 0.5585

答案

σ_Y = 0.5585

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.55 − 3 = −2.225。

7.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

上尾

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

8.正态分布

答案: P = 0.8413

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

9.置信区间

答案: 下限 = 102.4

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.045

误差范围

E = 2.045·7/√30 = 2.614

区间

105 ± 2.614 → [102.4, 107.6]

答案

下限 = 102.4

10.置信区间

答案: n = 904

解出 n

n = (2.576·35/3)² = 903.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 904

答案

n = 904

11.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

检验统计量

t = (197.2 − 200)/2 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: z = 2.408

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 113/250 = 0.452

p̂₂ = 68/200 = 0.34

p̂ = 181/450 = 0.4022

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4022·0.5978·(1/250 + 1/200)) = 0.04652

检验统计量

z = (0.452 − 0.34)/0.04652 = 2.408

答案

z = 2.408

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.9074

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 298/5 = 59.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 953.2

决定系数

r² = 279²/(90·953.2) = 0.9074

答案

r² = 0.9074

y 的变异中约有 90.74% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 79.9

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 374/5 = 74.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

回归直线

b = 204/40 = 5.1

a = 74.8 − 5.1·7 = 39.1

ŷ = 39.1 + 5.1·x

预测

ŷ = 39.1 + 5.1·8 = 79.9

答案

ŷ = 79.9

15.卡方检验

答案: χ² = 3.175

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

新药: 60·48/160 = 18, 60·112/160 = 42

安慰剂: 100·48/160 = 30, 100·112/160 = 70

卡方统计量

χ² = (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42 + (35 − 30)²/30 + (65 − 70)²/70

χ² = 3.175

答案

χ² = 3.175

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 6.984

期望频数

生产线 1: 18, 42

生产线 2: 30, 70

生产线 3: 30, 70

卡方统计量

χ² = (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42 + (39 − 30)²/30 + (61 − 70)²/70 + (22 − 30)²/30 + (78 − 70)²/70

χ² = 6.984

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

6.984 < 9.210

答案

χ² = 6.984

χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology