描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
发表偏倚是指：
- A审稿人偏爱来自名校作者的论文，而不是来自不知名学校作者的论文
- B期刊只发表定性研究
- C结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
- D研究者把同一项研究发表两次
2.心理学研究方法困难
一名研究者发现冰淇淋销量与溺水死亡人数呈正相关。哪种解释最合理？
- A这个相关一定是计算错误
- B溺水增加了冰淇淋销量
- C冰淇淋导致溺水
- D炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：42, 22, 29, 13, 44。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 165 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 10x = 165
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.05, 0.25, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.25, 0.3Y = 0.5X − 3
σY =
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 57.5 和 83.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 57.5x2 = 83.5
P =
8.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.置信区间中等
基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 1.8。 如果同一研究改用 576 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 64E₁ = 1.8n₂ = 576
E₂ =
10.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 0.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 0.7 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 117，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 117s = 20n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 102.9。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 102.9σ = 12n = 2590%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 72)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 72)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 7 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
为什么是这个答案
当不显著的研究被留在文件抽屉里时，已发表的文献会高估效应量，从而扭曲元分析。
答案
C · 结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
2.心理学研究方法
答案: D · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
为什么是这个答案
第三个变量——气温——导致了两者。这说明了为什么仅凭相关不能证明因果关系。
答案
D · 炎热的天气同时增加了冰淇淋销量和游泳人数
3.描述统计
答案: s = 13.17
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 150/5 = 30
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12² + (−8)² + (−1)² + (−17)² + 14² = 694
标准差
s = √(694/4) = 13.17
答案
s = 13.17
4.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
5.概率
答案: Var(X) = 2.56
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.15 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.3 = 2.2
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.15 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.3 = 7.4
方差
Var(X) = 7.4 − 2.2² = 2.56
答案
Var(X) = 2.56
6.概率
答案: σY = 0.554
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.65, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
线性变换
σY = |0.5|·1.108 = 0.554
答案
σY = 0.554
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·2.65 − 3 = −1.675。
7.正态分布
答案: P = 0.7412
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (57.5 − 65)/10 = −0.75
z₂ = (83.5 − 65)/10 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−0.75) = 0.9678 − 0.2266 = 0.7412
答案
P = 0.7412
8.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
9.置信区间
答案: E₂ = 0.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(64/576) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 1.8·0.3333 = 0.6
答案
E₂ = 0.6
10.置信区间
答案: σ = 1.011 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·0.7² = 9.8
σ² 的限值
9.8/34.17 = 0.2868
9.8/9.591 = 1.022
σ 的限值
σ = √1.022 = 1.011 µm
答案
σ = 1.011 µm
σ 的 95% 区间：[0.5355, 1.011] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
检验统计量
t = (117 − 120)/3.333 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 106.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√25 = 3.948
区间端点
U = 102.9 + 3.948 = 106.8
答案
U = 106.8
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9577
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 294/5 = 58.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 294.8
相关系数
r = 104/√(40·294.8) = 0.9577
答案
r = 0.9577
14.线性回归与相关
答案: e = 5.167
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 401/6 = 66.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91.5
回归直线
b = 91.5/17.5 = 5.229
a = 66.83 − 5.229·3.5 = 48.53
ŷ = 48.53 + 5.229·x
预测值
ŷ = 48.53 + 5.229·3.5 = 66.83
残差
e = 72 − 66.83 = 5.167
答案
e = 5.167
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 0.4689
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 60·56/160 = 21, 60·104/160 = 39
女性: 100·56/160 = 35, 100·104/160 = 65
卡方统计量
χ² = (19 − 21)²/21 + (41 − 39)²/39 + (37 − 35)²/35 + (63 − 65)²/65
χ² = 0.4689
答案
χ² = 0.4689
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 11.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
答案
χ²crit = 11.070
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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