描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
访谈中的开放式问题收集的是哪类数据？
- A质性数据
- B比率数据
- C只有称名量化数据
- D等距数据
2.心理学研究方法困难
运动能减轻抑郁，其原因是运动改善了睡眠，而睡眠改善又降低了抑郁。睡眠最好描述为：
- A调节变量
- B无关变量
- C控制变量
- D中介变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 40, 45, 35, 16, 35, 42。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 62 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 10x = 62
z =
5.概率中等
袋中有 5 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
5 / 8
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.25, 0.05, 0.25, 0.2Y = 2X + 10
σY =
7.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 757.9 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757.9 g
P =
8.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
9.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 2，标准差为 2.7。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 7d̄ = 2sd = 2.799%t(6) = 3.707
E = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 30E = 290%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 500；已知总体标准差为 6。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 497.56。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ ≠ 500。求 p 值 p。
μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 497.56H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 0.590%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 33Σy = 518Σx² = 199Σy² = 45416Σxy = 2959
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (22, 98)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(22, 98)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 质性数据
为什么是这个答案
开放式问题产生丰富的质性数据，比封闭式问题的回答更难进行统计分析。
答案
A · 质性数据
2.心理学研究方法
答案: D · 中介变量
为什么是这个答案
中介变量位于预测变量和结果之间的因果路径上，解释效应是如何或为什么发生的。
答案
D · 中介变量
3.描述统计
答案: s = 10.55
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 261/7 = 37.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.71² + 2.714² + 7.714² + (−2.286)² + (−21.29)² + (−2.286)² + 4.714² = 667.4
标准差
s = √(667.4/6) = 10.55
答案
s = 10.55
4.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (62 − 70)/10 = −0.8
答案
z = −0.8
5.概率
答案: P = 0.1282
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282
答案
P = 0.1282
6.概率
答案: σY = 3.027
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.9, Var(X) = 2.29, σX = 1.513
线性变换
σY = |2|·1.513 = 3.027
答案
σY = 3.027
均值确实会改变：E(Y) = 2·2.9 + 10 = 15.8。
7.正态分布
答案: P = 0.2119
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8
上尾
P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119
答案
P = 0.2119
8.正态分布
答案: x = 45.96 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min
答案
x = 45.96 min
9.置信区间
答案: E = 3.783 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·2.7/√7 = 3.783
答案
E = 3.783 mmHg
10.置信区间
答案: n = 609
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·30/2)² = 608.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 609
答案
n = 609
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.01469
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (497.56 − 500)/1 = −2.44
尾部面积
Φ(2.44) = 0.9927
1 − Φ(2.44) = 0.0073
p 值
p = 2·0.0073 = 0.01469
答案
p = 0.01469
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 2436
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·15/0.5)² = 2435
向上取整
n = 2436
答案
n = 2436
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9972
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2959 − 33·518/6 = 110
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 45416 − 518²/6 = 695.3
相关系数
r = 110/√(17.5·695.3) = 0.9972
答案
r = 0.9972
14.线性回归与相关
答案: e = 3.41
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 512/6 = 85.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324
回归直线
b = 324/70 = 4.629
a = 85.33 − 4.629·20 = −7.238
ŷ = −7.238 + 4.629·x
预测值
ŷ = −7.238 + 4.629·22 = 94.59
残差
e = 98 − 94.59 = 3.41
答案
e = 3.41
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 0.8333
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·48/80 = 24, 40·32/80 = 16
不吸烟者: 40·48/80 = 24, 40·32/80 = 16
卡方统计量
χ² = (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (22 − 24)²/24 + (18 − 16)²/16
χ² = 0.8333
答案
χ² = 0.8333
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
答案
df = 5
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