描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
比较两个独立组的平均数、且等距数据近似正态时，适合使用哪种检验？
- A独立样本 t 检验
- B威尔科克森符号秩检验
- C卡方检验
- D皮尔逊相关
2.心理学研究方法困难
一名研究者想检验一种新教学方法是否能带来更好的成绩，但无法对学生进行随机分配。在这种情况下，哪种设计能提供最强的因果证据？
- A询问学生是否认为该方法有效
- B比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组
- C把成绩与学生对老师的喜爱程度求相关
- D只在教学后测量使用新方法的班级
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 40, 59, 17, 59。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。求成绩 194 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 12x = 194
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.3
σ =
6.概率困难
一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.7k = 1
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9881。求 z，保留两位小数。
A = 0.9881
z =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分5%
x = 分
9.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 2.3。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 36E₁ = 2.395%
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 25E = 499%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 5。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 81.03。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ > 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 5n = 100x̄ = 81.03H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 504.3。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 504.3σ = 10n = 1699%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 34)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 34)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 独立样本 t 检验
为什么是这个答案
独立样本 t 检验比较两个组的平均数。卡方检验用于频数；威尔科克森检验用于非参数数据的相关样本。
答案
A · 独立样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: B · 比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组
为什么是这个答案
非等组前测-后测设计控制了初始差异和随时间发生的变化，尽管它比随机实验弱。
答案
B · 比较经过匹配的班级在教学前后的测量结果，并设有比较组
3.描述统计
答案: s = 22.95
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 185/5 = 37
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−27)² + 3² + 22² + (−20)² + 22² = 2106
标准差
s = √(2106/4) = 22.95
答案
s = 22.95
4.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (194 − 170)/12 = 2
答案
z = 2
5.概率
答案: σ = 1.229
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.3 = 1.3
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.3 = 3.2
方差
Var(X) = 3.2 − 1.3² = 1.51
σ = √1.51 = 1.229
答案
σ = 1.229
6.概率
答案: P = 0.001225
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 8·0.71·0.37 = 8·0.7·0.0002187 = 0.001225
答案
P = 0.001225
7.正态分布
答案: z = −2.26
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9881 = 0.0119
反向查 z 表
在表中找到 0.0119，读出 z。
z = −2.26
答案
z = −2.26
8.正态分布
答案: x = 75.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分
答案
x = 75.4 分
9.置信区间
答案: E₂ = 2.74
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/36) = 1.191
新的误差范围
E₂ = 2.3·1.191 = 2.74
答案
E₂ = 2.74
10.置信区间
答案: n = 260
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·25/4)² = 259.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 260
答案
n = 260
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.0197
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (81.03 − 80)/0.5 = 2.06
尾部面积
Φ(2.06) = 0.9803
1 − Φ(2.06) = 0.0197
p 值
p = 0.0197
答案
p = 0.0197
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 497.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·10/√16 = 6.44
区间端点
L = 504.3 − 6.44 = 497.9
答案
L = 497.9
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9721
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 289/5 = 57.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178
Syy = Σ(y − ȳ)² = 814.8
决定系数
r² = 178²/(40·814.8) = 0.9721
答案
r² = 0.9721
y 的变异中约有 97.21% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −4.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 231/6 = 38.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43.5
回归直线
b = 43.5/17.5 = 2.486
a = 38.5 − 2.486·5.5 = 24.83
ŷ = 24.83 + 2.486·x
预测值
ŷ = 24.83 + 2.486·5.5 = 38.5
残差
e = 34 − 38.5 = −4.5
答案
e = −4.5
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 0.6944
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 60·60/100 = 36, 60·40/100 = 24
安慰剂: 40·60/100 = 24, 40·40/100 = 16
卡方统计量
χ² = (34 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16
χ² = 0.6944
答案
χ² = 0.6944
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 8.507
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 36, 24
工厂 B: 24, 16
工厂 C: 36, 24
卡方统计量
χ² = (29 − 36)²/36 + (31 − 24)²/24 + (31 − 24)²/24 + (9 − 16)²/16 + (36 − 36)²/36 + (24 − 24)²/24
χ² = 8.507
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
8.507 > 5.991
答案
χ² = 8.507
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology