心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

同样的 25 名参与者在摄入咖啡因前后各完成一次记忆测验。分数为等距数据且大致正态。哪种检验合适？

A卡方检验
B独立样本 t 检验
CMann–Whitney U 检验
D配对（相关）样本 t 检验

2.心理学研究方法困难

一名研究者对一个数据集进行了 20 次分析，只报告了 p < 0.05 的那一次。这种做法称为：

A三角验证
B预注册
C平衡抵消
Dp 值操纵（p-hacking）

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：33, 42, 37, 27, 20。

n = 5

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值高于 160.4 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 12x = 160.4

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.1, 0.25, 0.25, 0.3

σ =

6.概率困难

测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.4

P =

7.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 99.9 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99.9 s

P =

8.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 14.5，标准差 s = 9.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 13x̄ = 14.5s = 9.590%t(12) = 1.782

下限 =

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：15 块地，平均产量 56 kg，标准差 8 kg。地块组 2：11 块地，均值 49 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 15x̄₁ = 56s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 49s₂ = 5.595%t(24) = 2.064

下限 = kg

11.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：14 名学生，平均分 36.5，标准差 5.5。第 2 组：7 名学生，平均分 33.5，标准差 8。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 14x̄₁ = 36.5s₁ = 5.5n₂ = 7x̄₂ = 33.5s₂ = 8

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 2σ = 14z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

13.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 126Σy = 274Σx² = 2716Σy² = 13164Σxy = 5948

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (12, 100)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(12, 100)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，无缺陷”的期望频数 E。

行合计 = 97列合计 = 44N = 188

E =

16.卡方检验困难

对一个 2 行 2 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: D · 配对（相关）样本 t 检验

为什么是这个答案

配对 t 检验利用每个人内部的差值，比较同一批参与者在两种条件下的平均数。

答案

D · 配对（相关）样本 t 检验

2.心理学研究方法

答案: D · p 值操纵（p-hacking）

为什么是这个答案

p 值操纵利用分析中的灵活性来获得显著性，使假阳性率远高于 5%。预注册和透明报告可以减少这种做法。

答案

D · p 值操纵（p-hacking）

3.描述统计

答案: s = 8.585

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 159/5 = 31.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.2² + 10.2² + 5.2² + (−4.8)² + (−11.8)² = 294.8

标准差

s = √(294.8/4) = 8.585

答案

s = 8.585

4.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

5.概率

答案: σ = 1.284

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.1 + 1·0.1 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.3 = 2.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.1 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.3 = 8.15

方差

Var(X) = 8.15 − 2.55² = 1.648

σ = √1.648 = 1.284

答案

σ = 1.284

6.概率

答案: P = 0.07054

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6⁹ = 0.01008

P(X = 1) = 9·0.4·0.6⁸ = 0.06047

相加

P = 0.01008 + 0.06047 = 0.07054

答案

P = 0.07054

7.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

上尾

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

8.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

9.置信区间

答案: 下限 = 9.805

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 1.782

误差范围

E = 1.782·9.5/√13 = 4.695

区间

14.5 ± 4.695 → [9.805, 19.2]

答案

下限 = 9.805

10.置信区间

答案: 下限 = 1.21 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (14·8² + 10·5.5²)/24 = 49.94

s_p = 7.067

误差范围

E = 2.064·7.067·√(1/15 + 1/11) = 5.79

区间

7 ± 5.79 → [1.21, 12.79]

答案

下限 = 1.21 kg

11.假设检验与置信区间

答案: t = 1.013

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (13·5.5² + 6·8²)/19 = 40.91

s_p = 6.396

标准误

SE = 6.396·√(1/14 + 1/7) = 2.961

检验统计量

t = (36.5 − 33.5)/2.961 = 1.013

答案

t = 1.013

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: n = 420

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·14/2)² = 419.8

向上取整

n = 420

答案

n = 420

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9086

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 5948 − 126·274/6 = 194

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 13164 − 274²/6 = 651.3

答案

r = 0.9086

14.线性回归与相关

答案: e = 4.386

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 441/6 = 73.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

回归直线

b = 387/70 = 5.529

a = 73.5 − 5.529·8 = 29.27

ŷ = 29.27 + 5.529·x

预测值

ŷ = 29.27 + 5.529·12 = 95.61

残差

e = 100 − 95.61 = 4.386

答案

e = 4.386

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: E = 22.7

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 97·44/188 = 22.7

答案

E = 22.7

16.卡方检验

答案: χ²_crit = 6.635

自由度

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

表

χ²_crit(df = 1, α = 0.01) = 6.635

答案

χ²_crit = 6.635

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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