描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在内容分析中，评分者间信度是如何检验的？
- A事后询问参与者研究者对其材料的编码是否正确
- B让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
- C在同一天内对材料编码两次
- D使用更大的材料样本
2.心理学研究方法困难
比较四个组的单因素方差分析结果显著。为找出哪些组之间存在差异，研究者下一步应该做什么？
- A把结果作为相关来报告
- B对平均数进行卡方检验
- C进行事后检验，如 Tukey HSD
- D断定四个组彼此之间都有差异
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：37, 14, 49, 39, 47。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 64.8 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 8x = 64.8
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.2k = 1
P =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 244.25 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 244.25x2 = 251
P =
8.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
9.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 89.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 11x̄ = 89.5s = 19.595%t(10) = 2.228
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：22 块地，平均产量 74.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 63 kg，标准差 7 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 22x̄₁ = 74.5s₁ = 4.5n₂ = 9x̄₂ = 63s₂ = 795%t(29) = 2.045
下限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 498.8，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 498.8s = 4n = 81
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 0.599%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 11？
n = 5ŷ = 11
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
为什么是这个答案
如果独立的编码者对相同数据给出相似的编码（一致性或相关性高），说明编码方案具有信度。
答案
B · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法
答案: C · 进行事后检验，如 Tukey HSD
为什么是这个答案
显著的 F 值表明并非所有平均数都相等。事后检验或计划对比可以在控制错误率的同时确定哪些组对之间存在差异。
答案
C · 进行事后检验，如 Tukey HSD
3.描述统计
答案: s = 13.94
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 186/5 = 37.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.2)² + (−23.2)² + 11.8² + 1.8² + 9.8² = 776.8
标准差
s = √(776.8/4) = 13.94
答案
s = 13.94
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (64.8 − 60)/8 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
方差
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
6.概率
答案: P = 0.2362
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 11·0.21·0.810 = 11·0.2·0.1074 = 0.2362
答案
P = 0.2362
7.正态分布
答案: P = 0.4542
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (244.25 − 250)/5 = −1.15
z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−1.15) = 0.5793 − 0.1251 = 0.4542
答案
P = 0.4542
8.正态分布
答案: x = 245.8 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g
答案
x = 245.8 g
9.置信区间
答案: 上限 = 102.6
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·19.5/√11 = 13.1
区间
89.5 ± 13.1 → [76.4, 102.6]
答案
上限 = 102.6
10.置信区间
答案: 下限 = 7.204 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (21·4.5² + 8·7²)/29 = 28.18
sp = 5.309
误差范围
E = 2.045·5.309·√(1/22 + 1/9) = 4.296
区间
11.5 ± 4.296 → [7.204, 15.8]
答案
下限 = 7.204 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (498.8 − 500)/0.4444 = −2.7
答案
t = −2.7
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 5973
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·15/0.5)² = 5972
向上取整
n = 5973
答案
n = 5973
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9893
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 439/6 = 73.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 436.8
相关系数
r = 86.5/√(17.5·436.8) = 0.9893
答案
r = 0.9893
14.线性回归与相关
答案: x = 4.385
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 73/5 = 14.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
回归直线
b = −26/10 = −2.6
a = 14.6 − (−2.6)·3 = 22.4
ŷ = 22.4 − 2.6·x
解出 x
x = (11 − 22.4)/(−2.6) = 4.385
答案
x = 4.385
15.卡方检验
答案: χ² = 0.7986
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16
夜班: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24
卡方统计量
χ² = (10 − 12)²/12 + (13 − 12)²/12 + (17 − 16)²/16 + (20 − 18)²/18 + (17 − 18)²/18 + (23 − 24)²/24
χ² = 0.7986
答案
χ² = 0.7986
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 2.76
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 48, 12
工厂 B: 32, 8
工厂 C: 64, 16
卡方统计量
χ² = (47 − 48)²/48 + (13 − 12)²/12 + (29 − 32)²/32 + (11 − 8)²/8 + (68 − 64)²/64 + (12 − 16)²/16
χ² = 2.76
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
2.76 < 5.991
答案
χ² = 2.76
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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