描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
要获得一个一、二、三年级学生比例与全校总体相同的样本，研究者应使用：
- A滚雪球抽样
- B分层抽样
- C机会抽样
- D志愿者抽样
2.心理学研究方法困难
解释现象学分析（IPA）的主要目的是：
- A探究个体如何理解自己的亲身经历
- B统计文本中单词出现的频率
- C准确测量反应时
- D用大样本检验因果假设
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：43, 10, 24, 32, 34。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 26 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 20x = 26
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.15, 0.25
σ =
6.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.25k = 5
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.6 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 169.6x2 = 190.95
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 110.5，标准差 s = 15.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 110.5s = 15.599%t(24) = 2.797
上限 =
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 10 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：8 块地，均值 16.5 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 6x̄₁ = 10s₁ = 2.5n₂ = 8x̄₂ = 16.5s₂ = 4.595%t(12) = 2.179
上限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 70.84，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 70.84s = 8n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 0.595%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 58？
n = 6ŷ = 58
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 分层抽样
为什么是这个答案
分层抽样先识别子群体（层），再按其在总体中的规模比例从每层中随机抽样，使样本更具代表性。
答案
B · 分层抽样
2.心理学研究方法
答案: A · 探究个体如何理解自己的亲身经历
为什么是这个答案
IPA 深入研究小规模、同质的样本，考察参与者如何解释重要经历，研究者再对他们的意义建构进行解释。
答案
A · 探究个体如何理解自己的亲身经历
3.描述统计
答案: s = 12.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 143/5 = 28.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 14.4² + (−18.6)² + (−4.6)² + 3.4² + 5.4² = 615.2
标准差
s = √(615.2/4) = 12.4
答案
s = 12.4
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (26 − 50)/20 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: σ = 1.187
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.25 = 1.3
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.25 = 3.1
方差
Var(X) = 3.1 − 1.3² = 1.41
σ = √1.41 = 1.187
答案
σ = 1.187
6.概率
答案: P = 0.03893
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 126·0.255·0.754 = 126·0.0009766·0.3164 = 0.03893
答案
P = 0.03893
7.正态分布
答案: P = 0.8528
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (169.6 − 178)/7 = −1.2
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.2) = 0.9678 − 0.1151 = 0.8528
答案
P = 0.8528
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 119.2
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.797
误差范围
E = 2.797·15.5/√25 = 8.671
区间
110.5 ± 8.671 → [101.8, 119.2]
答案
上限 = 119.2
10.置信区间
答案: 上限 = −2.032 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (5·2.5² + 7·4.5²)/12 = 14.42
sp = 3.797
误差范围
E = 2.179·3.797·√(1/6 + 1/8) = 4.468
区间
−6.5 ± 4.468 → [−10.97, −2.032]
答案
上限 = −2.032 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
检验统计量
t = (70.84 − 75)/1.6 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 1537
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·10/0.5)² = 1537
向上取整
n = 1537
答案
n = 1537
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9481
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 53/5 = 10.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Syy = Σ(y − ȳ)² = 129.2
决定系数
r² = 70²/(40·129.2) = 0.9481
答案
r² = 0.9481
y 的变异中约有 94.81% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 7.564
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 325/6 = 54.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32.5
回归直线
b = 32.5/17.5 = 1.857
a = 54.17 − 1.857·5.5 = 43.95
ŷ = 43.95 + 1.857·x
解出 x
x = (58 − 43.95)/1.857 = 7.564
答案
x = 7.564
15.卡方检验
答案: χ² = 1.767
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21
教职工: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35
卡方统计量
χ² = (11 − 12)²/12 + (31 − 27)²/27 + (18 − 21)²/21 + (21 − 20)²/20 + (41 − 45)²/45 + (38 − 35)²/35
χ² = 1.767
答案
χ² = 1.767
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
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