心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

专家检查一份数学考试的题目是否涵盖了教学大纲中的所有主题。这评估的是：

A内容效度
B生态效度
C重测信度
D预测效度

2.心理学研究方法困难

为什么许多研究者主张 p 值应与效应量和置信区间一起报告？

Ap 值不能显示效应有多大或有多精确
Bp 值显示假设为真的概率
C只有定性研究才需要置信区间
D效应量使样本量与显著性无关

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 15, 25, 37, 13, 42, 16。

n = 7

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 185 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 185

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.2, 0.25, 0.15

Var(X) =

6.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3

P =

7.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量低于 122.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10< 122.5 kg

P =

8.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 42.5，标准差 s = 17。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 20x̄ = 42.5s = 1790%t(19) = 1.729

上限 =

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 33 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 26.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 10x̄₁ = 33s₁ = 3.5n₂ = 6x̄₂ = 26.5s₂ = 990%t(14) = 1.761

上限 = kg

11.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 12。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 245.12。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ < 250。求 p 值 p。

μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 245.12H₁: μ < μ₀

p =

12.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 130 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 105 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 105n₂ = 150

z =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 41Σx² = 220Σy² = 451Σxy = 310

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 21)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(9, 21)

e =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，中”的期望频数 E。

行合计 = 60列合计 = 36N = 153

E =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验将 4 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: A · 内容效度

为什么是这个答案

内容效度是指一个测量涵盖该结构所有相关方面的程度，通常由专家判断。

答案

A · 内容效度

2.心理学研究方法

答案: A · p 值不能显示效应有多大或有多精确

为什么是这个答案

p 值在很大程度上取决于样本量，只表明在零假设下数据有多出人意料。效应量显示大小，置信区间显示精确度。

答案

A · p 值不能显示效应有多大或有多精确

3.描述统计

答案: s = 11.49

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 179/7 = 25.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5.429² + (−10.57)² + (−0.5714)² + 11.43² + (−12.57)² + 16.43² + (−9.571)² = 791.7

标准差

s = √(791.7/6) = 11.49

答案

s = 11.49

4.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

5.概率

答案: Var(X) = 2.127

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.15 = 2.85

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.15 = 10.25

方差

Var(X) = 10.25 − 2.85² = 2.127

答案

Var(X) = 2.127

6.概率

答案: P = 0.08503

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

相加

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答案

P = 0.08503

7.正态分布

答案: P = 0.8389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 120 kg, σ_T = 0.8·√10 = 2.53 kg

标准化

z = (122.5 − 120)/2.53 = 0.99

概率

P = Φ(0.99) = 0.8389

答案

P = 0.8389

8.正态分布

答案: P = 0.8413

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

9.置信区间

答案: 上限 = 49.07

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 1.729

误差范围

E = 1.729·17/√20 = 6.572

区间

42.5 ± 6.572 → [35.93, 49.07]

答案

上限 = 49.07

10.置信区间

答案: 上限 = 12.02 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (9·3.5² + 5·9²)/14 = 36.8

s_p = 6.067

误差范围

E = 1.761·6.067·√(1/10 + 1/6) = 5.517

区间

6.5 ± 5.517 → [0.9832, 12.02]

答案

上限 = 12.02 kg

11.假设检验与置信区间

答案: p = 0.007344

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (245.12 − 250)/2 = −2.44

尾部面积

Φ(2.44) = 0.9927

1 − Φ(2.44) = 0.0073

p 值

p = 0.007344

答案

p = 0.007344

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: z = −0.9856

样本比例

p̂₁ = 130/200 = 0.65

p̂₂ = 105/150 = 0.7

p̂ = 235/350 = 0.6714

H₀ 下的标准误

SE = √(0.6714·0.3286·(1/200 + 1/150)) = 0.05073

检验统计量

z = (0.65 − 0.7)/0.05073 = −0.9856

答案

z = −0.9856

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

13.线性回归与相关

答案: r = 0.9445

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 310 − 30·41/5 = 64

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 451 − 41²/5 = 114.8

答案

r = 0.9445

14.线性回归与相关

答案: e = 2.8

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 58/5 = 11.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

回归直线

b = 88/40 = 2.2

a = 11.6 − 2.2·6 = −1.6

ŷ = −1.6 + 2.2·x

预测值

ŷ = −1.6 + 2.2·9 = 18.2

残差

e = 21 − 18.2 = 2.8

答案

e = 2.8

该点位于直线上方。

15.卡方检验

答案: E = 14.12

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 60·36/153 = 14.12

答案

E = 14.12

16.卡方检验

答案: χ²_crit = 7.815

自由度

df = 4 − 1 = 3

表

χ²_crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815

答案

χ²_crit = 7.815

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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