描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一项研究进行了预注册。这意味着：
- A该研究已经发表
- B在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
- C结果在发表前由第二位独立的统计学家核查并批准
- D参与者在网上登记同意
2.心理学研究方法困难
一项研究发现，在社会支持强的人身上，压力对疾病的影响较弱。社会支持在这里起什么作用？
- A混淆变量
- B因变量
- C中介变量
- D调节变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 28, 56, 23, 43, 14。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值低于 94 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 12x = 94
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 8
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.15 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€10: p = 0.15€50: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9451。求 z，保留两位小数。
A = 0.9451
z =
8.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 55.5，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 6x̄ = 55.5s = 799%t(5) = 4.032
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 17E = 0.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 122.4，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 122.4s = 20n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 506.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 506.3σ = 15n = 25α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 30？
n = 5ŷ = 30
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 4 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
为什么是这个答案
预注册把验证性分析与探索性分析区分开来，减少 p 值操纵（p-hacking）和事后提出假设（HARKing）等做法。
答案
B · 在收集数据之前公开记录假设、方法和分析计划
2.心理学研究方法
答案: D · 调节变量
为什么是这个答案
调节变量改变两个变量之间关系的强度或方向。中介变量解释一个变量影响另一个变量的机制。
答案
D · 调节变量
3.描述统计
答案: s = 14.94
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 198/6 = 33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 1² + (−5)² + 23² + (−10)² + 10² + (−19)² = 1116
标准差
s = √(1116/5) = 14.94
答案
s = 14.94
4.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
5.概率
答案: P = 0.7674
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答案
P = 0.7674
6.概率
答案: E(G) = −2.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 5 (p = 0.15), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.83)
期望值
E(G) = 5·0.15 + 45·0.02 − 5·0.83 = −2.5 €
答案
E(G) = −2.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = 1.92
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9451)/2 = 0.9726
反向查 z 表
在表中找到 0.9726，读出 z。
z = 1.92
答案
z = 1.92
8.正态分布
答案: x = 241.8 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g
答案
x = 241.78 g
9.置信区间
答案: 上限 = 67.02
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·7/√6 = 11.52
区间
55.5 ± 11.52 → [43.98, 67.02]
答案
上限 = 67.02
10.置信区间
答案: n = 3129
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·17/0.5)² = 3128
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 3129
答案
n = 3129
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
检验统计量
t = (122.4 − 120)/2 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 67.54 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 500 + 1.645·3 = 504.9
真实均值下的 z
z = (504.9 − 506.3)/3 = −0.455
功率
功效 = P(Z > −0.455) = 67.54%
1 − β = 67.54%
答案
1 − β = 67.54%
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9591
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 269/5 = 53.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 400.8
决定系数
r² = 62²/(10·400.8) = 0.9591
答案
r² = 0.9591
y 的变异中约有 95.91% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 8.915
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 107/5 = 21.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/40 = 2.95
a = 21.4 − 2.95·6 = 3.7
ŷ = 3.7 + 2.95·x
解出 x
x = (30 − 3.7)/2.95 = 8.915
答案
x = 8.915
15.卡方检验
答案: χ² = 1.648
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14
不吸烟者: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
卡方统计量
χ² = (23 − 26)²/26 + (17 − 14)²/14 + (42 − 39)²/39 + (18 − 21)²/21
χ² = 1.648
答案
χ² = 1.648
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 2
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 − 1 = 2
答案
df = 2
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