描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在重复测量设计中，可以用什么方法控制顺序效应？
- A单盲程序
- B随机抽样
- C平衡（对抗平衡）
- D只用更大的样本
2.心理学研究方法困难
一项 2 × 3 析因方差分析显示，某药物能改善年轻人的记忆，但不能改善老年人的记忆。这发现了什么？
- A药物与年龄之间的交互作用
- B第一类错误
- C只有年龄的主效应
- D地板效应
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 34, 37, 10, 43, 34。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 100 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 20x = 100
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.3k = 4
P =
7.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 34 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34 min
P =
8.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 11.5，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 6x̄ = 11.5s = 1595%t(5) = 2.571
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 36E = 395%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 12。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 97.09。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 12n = 64x̄ = 97.09H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 5σ = 15zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 12)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 12)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 97列合计 = 75N = 181
E =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 2 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 平衡（对抗平衡）
为什么是这个答案
平衡法把练习效应和疲劳效应均匀地分配到各个条件中。
答案
C · 平衡（对抗平衡）
2.心理学研究方法
答案: A · 药物与年龄之间的交互作用
为什么是这个答案
当一个因素的效应在另一个因素的不同水平上不同时，就存在交互作用。这里药物的效应取决于年龄组。
答案
A · 药物与年龄之间的交互作用
3.描述统计
答案: s = 13.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 206/6 = 34.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.67² + (−0.3333)² + 2.667² + (−24.33)² + 8.667² + (−0.3333)² = 861.3
标准差
s = √(861.3/5) = 13.13
答案
s = 13.13
4.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (100 − 70)/20 = 1.5
答案
z = 1.5
5.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
方差
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
6.概率
答案: P = 0.1715
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 126·0.34·0.75 = 126·0.0081·0.1681 = 0.1715
答案
P = 0.1715
7.正态分布
答案: P = 0.2119
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (34 − 32)/2.5 = 0.8
上尾
P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119
答案
P = 0.2119
8.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
9.置信区间
答案: 上限 = 27.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.571
误差范围
E = 2.571·15/√6 = 15.74
区间
11.5 ± 15.74 → [−4.244, 27.24]
答案
上限 = 27.24
10.置信区间
答案: n = 554
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·36/3)² = 553.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 554
答案
n = 554
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.02619
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 12/√64 = 1.5
z = (97.09 − 100)/1.5 = −1.94
尾部面积
Φ(1.94) = 0.9738
1 − Φ(1.94) = 0.0262
p 值
p = 0.02619
答案
p = 0.02619
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 56
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·15/5)² = 55.67
向上取整
n = 56
答案
n = 56
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.8676
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 302/5 = 60.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 141.2
决定系数
r² = 35²/(10·141.2) = 0.8676
答案
r² = 0.8676
y 的变异中约有 86.76% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −3.133
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 122/6 = 20.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
回归直线
b = 182/70 = 2.6
a = 20.33 − 2.6·7 = 2.133
ŷ = 2.133 + 2.6·x
预测值
ŷ = 2.133 + 2.6·5 = 15.13
残差
e = 12 − 15.13 = −3.133
答案
e = −3.133
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 40.19
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 97·75/181 = 40.19
答案
E = 40.19
16.卡方检验
答案: χ²crit = 6.635
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
表
χ²crit(df = 1, α = 0.01) = 6.635
答案
χ²crit = 6.635
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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