描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名学生在一项平均数为 100、标准差为 15 的测验中得了 130 分。z 分数是多少？
- A0.5
- B3.0
- C1.5
- D2.0
2.心理学研究方法困难
在米尔格拉姆的服从研究中，参与者相信自己在施加真实的电击。这最直接地引出了哪个伦理问题？它是如何得到部分解决的？
- A欺骗和潜在的痛苦，通过全面的事后说明来解决
- B缺乏保密，通过公布姓名来解决
- C使用儿童，通过家长同意来解决
- D缺乏控制组，通过将参与者随机分配到各条件来解决
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 57, 44, 10, 45, 60, 11。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 82.5 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 10x = 82.5
z =
5.概率中等
从 15 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 15k = 5
N =
6.概率困难
测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.2
P =
7.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 201 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 201 mm
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 99.5，标准差 s = 12.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 7x̄ = 99.5s = 12.595%t(6) = 2.447
下限 =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.4 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p ≈ 0.4E = 0.0299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 501.2，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 501.2s = 10n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 98.2。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 98.2σ = 10n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 19.5 时的 ŷ。
n = 6x = 19.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 2.0
为什么是这个答案
(130 − 100) / 15 = 2。该分数比平均数高两个标准差，高于约 97–98% 的人。
答案
D · 2.0
2.心理学研究方法
答案: A · 欺骗和潜在的痛苦，通过全面的事后说明来解决
为什么是这个答案
参与者在电击问题上受到欺骗，许多人表现出极大的压力。米尔格拉姆对参与者进行了事后说明，并让他们与"学习者"见面；随访发现大多数人很高兴参加了研究，但其伦理问题仍有争议。
答案
A · 欺骗和潜在的痛苦，通过全面的事后说明来解决
3.描述统计
答案: s = 20.26
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 260/7 = 37.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−4.143)² + 19.86² + 6.857² + (−27.14)² + 7.857² + 22.86² + (−26.14)² = 2463
标准差
s = √(2463/6) = 20.26
答案
s = 20.26
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (82.5 − 70)/10 = 1.25
答案
z = 1.25
5.概率
答案: N = 3003
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003
答案
N = 3003
6.概率
答案: P = 0.7373
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.85 = 0.3277
P(X = 1) = 5·0.2·0.84 = 0.4096
相加
P = 0.3277 + 0.4096 = 0.7373
答案
P = 0.7373
7.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (201 − 200)/0.5 = 2
上尾
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
8.正态分布
答案: P = 0.9452
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6
概率
P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452
答案
P = 0.9452
9.置信区间
答案: 下限 = 87.94
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·12.5/√7 = 11.56
区间
99.5 ± 11.56 → [87.94, 111.1]
答案
下限 = 87.94
10.置信区间
答案: n = 3982
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.4·0.6/0.02² = 3981
向上取整
n = 3982
答案
n = 3982
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.72
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
检验统计量
t = (501.2 − 500)/1.667 = 0.72
答案
t = 0.72
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 56.16 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 100 − 1.645·1 = 98.36
真实均值下的 z
z = (98.36 − 98.2)/1 = 0.155
功率
功效 = P(Z < 0.155) = 56.16%
1 − β = 56.16%
答案
1 − β = 56.16%
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.7832
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 146/5 = 29.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37
Syy = Σ(y − ȳ)² = 174.8
决定系数
r² = 37²/(10·174.8) = 0.7832
答案
r² = 0.7832
y 的变异中约有 78.32% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 68.58
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 550/6 = 91.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 606
回归直线
b = 606/157.5 = 3.848
a = 91.67 − 3.848·25.5 = −6.448
ŷ = −6.448 + 3.848·x
预测
ŷ = −6.448 + 3.848·19.5 = 68.58
答案
ŷ = 68.58
15.卡方检验
答案: χ² = 3.125
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 60·20/100 = 12, 60·30/100 = 18, 60·50/100 = 30
农村: 40·20/100 = 8, 40·30/100 = 12, 40·50/100 = 20
卡方统计量
χ² = (9 − 12)²/12 + (21 − 18)²/18 + (30 − 30)²/30 + (11 − 8)²/8 + (9 − 12)²/12 + (20 − 20)²/20
χ² = 3.125
答案
χ² = 3.125
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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