描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？
- A随机抽样
- B分层抽样
- C系统抽样
- D滚雪球抽样
2.心理学研究方法困难
一名研究者使用问卷、访谈和观察来研究工作压力，各项发现相互一致。这种方法称为：
- A重复研究
- B三角验证
- C平衡抵消
- D分层
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：27, 60, 43, 23, 31, 18, 38。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 162.5 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 15x = 162.5
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 10X + 1
σY =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 171 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 190.95
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 67.5，标准差 s = 2.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 11x̄ = 67.5s = 2.599%t(10) = 3.169
E =
10.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 11.6 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 11.6 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 101.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 101.9s = 8n = 49
t =
12.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 100.9。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 100.9σ = 20n = 8195%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 153Σy = 475Σx² = 4059Σy² = 39643Σxy = 12672
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 105？
n = 6ŷ = 105
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 2 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 滚雪球抽样
为什么是这个答案
滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。
答案
D · 滚雪球抽样
2.心理学研究方法
答案: B · 三角验证
为什么是这个答案
三角验证使用多种方法、来源或研究者。它们之间的一致提高了对研究结果效度的信心。
答案
B · 三角验证
3.描述统计
答案: s = 14.19
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 240/7 = 34.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−7.286)² + 25.71² + 8.714² + (−11.29)² + (−3.286)² + (−16.29)² + 3.714² = 1207
标准差
s = √(1207/6) = 14.19
答案
s = 14.19
4.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (162.5 − 170)/15 = −0.5
答案
z = −0.5
5.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
6.概率
答案: σY = 8.367
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367
线性变换
σY = |10|·0.8367 = 8.367
答案
σY = 8.367
均值确实会改变：E(Y) = 10·1 + 1 = 11。
7.正态分布
答案: P = 0.8092
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1) = 0.9678 − 0.1587 = 0.8092
答案
P = 0.8092
8.正态分布
答案: x = 187 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm
答案
x = 186.97 cm
9.置信区间
答案: E = 2.389
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 3.169
误差范围
E = 3.169·2.5/√11 = 2.389
答案
E = 2.389
10.置信区间
答案: σ = 16.14 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·11.6² = 3229
σ² 的限值
3229/39.364 = 82.04
3229/12.401 = 260.4
σ 的限值
σ = √260.4 = 16.14 µm
答案
σ = 16.14 µm
σ 的 95% 区间：[9.058, 16.14] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.663
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
检验统计量
t = (101.9 − 100)/1.143 = 1.663
答案
t = 1.663
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 96.54
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·20/√81 = 4.356
区间端点
L = 100.9 − 4.356 = 96.54
答案
L = 96.54
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9873
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 12672 − 153·475/6 = 559.5
Sxx = 4059 − 153²/6 = 157.5
Syy = 39643 − 475²/6 = 2039
相关系数
r = 559.5/√(157.5·2039) = 0.9873
答案
r = 0.9873
14.线性回归与相关
答案: x = 29.49
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 499/6 = 83.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 574.5
回归直线
b = 574.5/157.5 = 3.648
a = 83.17 − 3.648·23.5 = −2.552
ŷ = −2.552 + 3.648·x
解出 x
x = (105 − (−2.552))/3.648 = 29.49
答案
x = 29.49
15.卡方检验
答案: χ² = 9.764
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
教职工: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
卡方统计量
χ² = (27 − 36)²/36 + (34 − 36)²/36 + (59 − 48)²/48 + (45 − 36)²/36 + (38 − 36)²/36 + (37 − 48)²/48
χ² = 9.764
答案
χ² = 9.764
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 6.635
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
表
χ²crit(df = 1, α = 0.01) = 6.635
答案
χ²crit = 6.635
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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