心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

内部效度指的是：

A测验在不同时间是否给出相同结果
B观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起
C研究结果能否推广到该研究之外的其他总体、情境和时间
D参与者是否觉得研究有趣

2.心理学研究方法困难

为什么要报告科恩 d 等效应量指标？

A它们显示效应有多大，而不受样本量影响
B它们说明有多少参与者退出
C它们取代了任何假设的必要性
D它们显示结果在选定的 alpha 水平上是否具有统计显著性

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：53, 50, 32, 30, 11, 16, 29。

n = 7

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。求成绩 54.8 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 8x = 54.8

z =

5.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

6.概率困难

测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.4

P =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1685。求 z，保留两位小数。

A = 0.1685

z =

8.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分30%

x = 分

9.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 94，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 6x̄ = 94s = 299%t(5) = 4.032

上限 =

10.置信区间困难

21 根机加工轴的直径样本标准差为 1.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。

n = 21s = 1.7 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

11.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 100.6，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 100.6s = 8n = 81

t =

12.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 49.1。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 49.1σ = 8n = 4999%

U =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 91Σx² = 55Σy² = 1755Σxy = 243

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 73？

n = 6ŷ = 73

x =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: B · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起

为什么是这个答案

内部效度高意味着已排除其他解释，如混淆变量、需求特征或实验者偏差。外部效度则涉及推广性。

答案

B · 观察到的效应是否确实由自变量而不是其他因素引起

2.心理学研究方法

答案: A · 它们显示效应有多大，而不受样本量影响

为什么是这个答案

在大样本中，极小的效应也可能显著。效应量表示差异的大小，例如 d = 0.2 为小，0.5 为中，0.8 为大。

答案

A · 它们显示效应有多大，而不受样本量影响

3.描述统计

答案: s = 15.67

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 221/7 = 31.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 21.43² + 18.43² + 0.4286² + (−1.571)² + (−20.57)² + (−15.57)² + (−2.571)² = 1474

标准差

s = √(1474/6) = 15.67

答案

s = 15.67

4.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (54.8 − 50)/8 = 0.6

答案

z = 0.6

5.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

6.概率

答案: P = 0.1064

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6⁸ = 0.0168

P(X = 1) = 8·0.4·0.6⁷ = 0.08958

相加

P = 0.0168 + 0.08958 = 0.1064

答案

P = 0.1064

7.正态分布

答案: z = 0.96

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1685 = 0.8315

反向查 z 表

在表中找到 0.8315，读出 z。

z = 0.96

答案

z = 0.96

8.正态分布

答案: x = 70.2 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分

答案

x = 70.2 分

9.置信区间

答案: 上限 = 97.29

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·2/√6 = 3.292

区间

94 ± 3.292 → [90.71, 97.29]

答案

上限 = 97.29

10.置信区间

答案: σ = 1.301 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 20·1.7² = 57.8

σ² 的限值

57.8/34.17 = 1.692

57.8/9.591 = 6.026

σ 的限值

σ = √1.692 = 1.301 µm

答案

σ = 1.301 µm

σ 的 95% 区间：[1.301, 2.455] µm。

11.假设检验与置信区间

答案: t = 0.675

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

检验统计量

t = (100.6 − 100)/0.8889 = 0.675

答案

t = 0.675

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

12.假设检验与置信区间

答案: U = 52.04

误差范围

E = 2.576·8/√49 = 2.944

区间端点

U = 49.1 + 2.944 = 52.04

答案

U = 52.04

13.线性回归与相关

答案: r = −0.9544

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 243 − 15·91/5 = −30

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1755 − 91²/5 = 98.8

答案

r = −0.9544

14.线性回归与相关

答案: x = 11.94

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 344/6 = 57.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

回归直线

b = 278/70 = 3.971

a = 57.33 − 3.971·8 = 25.56

ŷ = 25.56 + 3.971·x

解出 x

x = (73 − 25.56)/3.971 = 11.94

答案

x = 11.94

15.卡方检验

答案: χ² = 2.64

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

新药: 100·110/220 = 50, 100·110/220 = 50

安慰剂: 120·110/220 = 60, 120·110/220 = 60

卡方统计量

χ² = (56 − 50)²/50 + (44 − 50)²/50 + (54 − 60)²/60 + (66 − 60)²/60

χ² = 2.64

答案

χ² = 2.64

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ² = 9.549

期望频数

工厂 A: 32, 48

工厂 B: 24, 36

工厂 C: 16, 24

卡方统计量

χ² = (42 − 32)²/32 + (38 − 48)²/48 + (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (13 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24

χ² = 9.549

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

9.549 > 5.991

答案

χ² = 9.549

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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