描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在内容分析中，评分者间信度是如何检验的？
- A在同一天内对材料编码两次
- B事后询问参与者研究者对其材料的编码是否正确
- C使用更大的材料样本
- D让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法困难
一项研究表明，某问卷与同一构念的成熟测验高度相关。这支持：
- A生态效度
- B重测信度
- C表面效度
- D同时效度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 60, 30, 38, 51。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 56 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 8x = 56
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.25, 0.35, 0.25, 0.1
Var(X) =
6.概率困难
一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.25k = 5
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7775。求 z，保留两位小数。
A = 0.7775
z =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 20.5，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 6x̄ = 20.5s = 3.590%t(5) = 2.015
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 18E = 1.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.82，差值的标准差为 6.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 20d̄ = 2.82sd = 6.3
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 8。求最小样本量 n。
σ = 8E = 0.590%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 109Σx² = 220Σy² = 2845Σxy = 790
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 78？
n = 5ŷ = 78
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
为什么是这个答案
如果独立的编码者对相同数据给出相似的编码（一致性或相关性高），说明编码方案具有信度。
答案
D · 让两名研究者对同一材料编码，然后比较结果
2.心理学研究方法
答案: D · 同时效度
为什么是这个答案
当新测量与大致同时进行的成熟测量结果一致时，就证明了同时效度。
答案
D · 同时效度
3.描述统计
答案: s = 19.37
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 189/5 = 37.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−27.8)² + 22.2² + (−7.8)² + 0.2² + 13.2² = 1501
标准差
s = √(1501/4) = 19.37
答案
s = 19.37
4.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
5.概率
答案: Var(X) = 1.09
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.05 + 2·0.25 + 3·0.35 + 4·0.25 + 5·0.1 = 3.1
平方的均值
E(X²) = 1·0.05 + 4·0.25 + 9·0.35 + 16·0.25 + 25·0.1 = 10.7
方差
Var(X) = 10.7 − 3.1² = 1.09
答案
Var(X) = 1.09
6.概率
答案: P = 0.0584
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 252·0.255·0.755 = 252·0.0009766·0.2373 = 0.0584
答案
P = 0.0584
7.正态分布
答案: z = 1.22
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.7775)/2 = 0.8888
反向查 z 表
在表中找到 0.8888，读出 z。
z = 1.22
答案
z = 1.22
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 23.38
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.015
误差范围
E = 2.015·3.5/√6 = 2.879
区间
20.5 ± 2.879 → [17.62, 23.38]
答案
上限 = 23.38
10.置信区间
答案: n = 390
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·18/1.5)² = 389.7
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 390
答案
n = 390
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 6.3/√20 = 1.409
检验统计量
t = 2.82/1.409 = 2.002
答案
t = 2.002
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 693
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·8/0.5)² = 692.7
向上取整
n = 693
答案
n = 693
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9932
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 790 − 30·109/5 = 136
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2845 − 109²/5 = 468.8
相关系数
r = 136/√(40·468.8) = 0.9932
答案
r = 0.9932
14.线性回归与相关
答案: x = 6.939
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 363/5 = 72.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230
回归直线
b = 230/40 = 5.75
a = 72.6 − 5.75·6 = 38.1
ŷ = 38.1 + 5.75·x
解出 x
x = (78 − 38.1)/5.75 = 6.939
答案
x = 6.939
15.卡方检验
答案: χ² = 1.68
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 60·32/160 = 12, 60·48/160 = 18, 60·80/160 = 30
教职工: 100·32/160 = 20, 100·48/160 = 30, 100·80/160 = 50
卡方统计量
χ² = (9 − 12)²/12 + (18 − 18)²/18 + (33 − 30)²/30 + (23 − 20)²/20 + (30 − 30)²/30 + (47 − 50)²/50
χ² = 1.68
答案
χ² = 1.68
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 18.31
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
表
χ²crit(df = 10, α = 0.05) = 18.307
答案
χ²crit = 18.307
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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