描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一份新的抑郁问卷能预测哪些学生会在下一年寻求治疗。这支持哪种效度？
- A同时效度
- B内容效度
- C表面效度
- D预测效度
2.心理学研究方法困难
一项"智力"测验主要测量的是人们打字有多快。最明显缺乏的是哪种效度？
- A重测信度
- B结构效度
- C内部一致性
- D评分者间信度
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 55, 43, 26, 20。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 560 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 100x = 560
P =
5.概率中等
从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 3
N =
6.概率困难
测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.5
P =
7.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 157.6 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4> 157.6 g
P =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 5.7。 基于 450 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 5.795%n₂ = 450
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 10E = 2.599%
n =
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 41.5，标准差 11.5。第 2 组：7 名学生，平均分 24.7，标准差 10.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 9x̄₁ = 41.5s₁ = 11.5n₂ = 7x̄₂ = 24.7s₂ = 10.5
t =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 107.2。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 107.2σ = 20n = 2595%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 66Σx² = 364Σy² = 924Σxy = 576
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，自行车”的期望频数 E。
行合计 = 80列合计 = 27N = 170
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 预测效度
为什么是这个答案
当分数能预测以后的效标时，就显示出预测效度。同时效度使用的是同一时间测量的效标。
答案
D · 预测效度
2.心理学研究方法
答案: B · 结构效度
为什么是这个答案
结构效度是指一个测量是否真正反映了其背后的结构。一个测验可以很可靠，却测量了错误的东西。
答案
B · 结构效度
3.描述统计
答案: s = 16.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 199/5 = 39.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 15.2² + 15.2² + 3.2² + (−13.8)² + (−19.8)² = 1055
标准差
s = √(1055/4) = 16.24
答案
s = 16.24
4.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
5.概率
答案: N = 35
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
答案
N = 35
6.概率
答案: P = 0.1094
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.56 = 0.01563
P(X = 1) = 6·0.5·0.55 = 0.09375
相加
P = 0.01563 + 0.09375 = 0.1094
答案
P = 0.1094
7.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 160 g, σT = 1.2·√4 = 2.4 g
标准化
z = (157.6 − 160)/2.4 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: E₂ = 1.446
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(50/450) = 0.2536
新的误差范围
E₂ = 5.7·0.2536 = 1.446
答案
E₂ = 1.446
10.置信区间
答案: n = 107
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·10/2.5)² = 106.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 107
答案
n = 107
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.008
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (8·11.5² + 6·10.5²)/14 = 122.8
sp = 11.08
标准误
SE = 11.08·√(1/9 + 1/7) = 5.585
检验统计量
t = (41.5 − 24.7)/5.585 = 3.008
答案
t = 3.008
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 99.36
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·20/√25 = 7.84
区间端点
L = 107.2 − 7.84 = 99.36
答案
L = 99.36
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9683
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 576 − 42·66/6 = 114
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 924 − 66²/6 = 198
相关系数
r = 114/√(70·198) = 0.9683
答案
r = 0.9683
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 72.18
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 473/6 = 78.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116.5
回归直线
b = 116.5/17.5 = 6.657
a = 78.83 − 6.657·4.5 = 48.88
ŷ = 48.88 + 6.657·x
预测
ŷ = 48.88 + 6.657·3.5 = 72.18
答案
ŷ = 72.18
15.卡方检验
答案: E = 12.71
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 80·27/170 = 12.71
答案
E = 12.71
16.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
答案
df = 4
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