描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在正偏态分布中（如收入）：
- A平均数大于中位数
- B平均数小于中位数
- C没有极端分数
- D平均数和中位数总是相等
2.心理学研究方法困难
两名观察者记录操场上的攻击行为，他们的计数相关为 r = 0.45。研究者应该怎么做？
- A改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
- B只采用两个计数中较高的那个
- C接受这些数据，因为任何正相关都足够了
- D改用单侧假设
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：58, 20, 45, 34, 22, 32。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 53.6 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 8x = 53.6
z =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 4
P =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 1
σY =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240.25 和 260.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 240.25x2 = 260.25
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 68，标准差 s = 18.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 6x̄ = 68s = 18.599%t(5) = 4.032
下限 =
10.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.1 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p ≈ 0.1E = 0.0595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.41，差值的标准差为 4.7。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 9d̄ = −1.41sd = 4.7
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 19。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 5σ = 19zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 80？
n = 5ŷ = 80
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2603 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 平均数大于中位数
为什么是这个答案
右尾中少数极高的值使平均数高于中位数，这就是偏态数据常报告中位数的原因。
答案
A · 平均数大于中位数
2.心理学研究方法
答案: A · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
为什么是这个答案
观察者间信度低意味着类别的应用不一致。在正式收集数据之前，应通过更清晰的操作性定义和练习来提高一致性。
答案
A · 改进行为类别并培训观察者，然后重新检验一致性
3.描述统计
答案: s = 14.37
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 211/6 = 35.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = 22.83² + (−15.17)² + 9.833² + (−1.167)² + (−13.17)² + (−3.167)² = 1033
标准差
s = √(1033/5) = 14.37
答案
s = 14.37
4.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (53.6 − 60)/8 = −0.8
答案
z = −0.8
5.概率
答案: P = 0.5177
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答案
P = 0.5177
6.概率
答案: σY = 0.4023
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |0.5|·0.8047 = 0.4023
答案
σY = 0.4023
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.05 + 1 = 1.525。
7.正态分布
答案: P = 0.9542
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (240.25 − 250)/5 = −1.95
z₂ = (260.25 − 250)/5 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−1.95) = 0.9798 − 0.02559 = 0.9542
答案
P = 0.9542
8.正态分布
答案: P = 0.8133
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
概率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答案
P = 0.8133
9.置信区间
答案: 下限 = 37.55
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·18.5/√6 = 30.45
区间
68 ± 30.45 → [37.55, 98.45]
答案
下限 = 37.55
10.置信区间
答案: n = 139
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.1·0.9/0.05² = 138.3
向上取整
n = 139
答案
n = 139
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 4.7/√9 = 1.567
检验统计量
t = −1.41/1.567 = −0.9
答案
t = −0.9
df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 124
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·19/5)² = 123.7
向上取整
n = 124
答案
n = 124
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9641
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 91/6 = 15.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 100.8
相关系数
r = −40.5/√(17.5·100.8) = −0.9641
答案
r = −0.9641
14.线性回归与相关
答案: x = 5.514
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 344/5 = 68.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
回归直线
b = 74/10 = 7.4
a = 68.8 − 7.4·4 = 39.2
ŷ = 39.2 + 7.4·x
解出 x
x = (80 − 39.2)/7.4 = 5.514
答案
x = 5.514
15.卡方检验
答案: χ² = 3.347
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 40·20/100 = 8, 40·30/100 = 12, 40·50/100 = 20
教职工: 60·20/100 = 12, 60·30/100 = 18, 60·50/100 = 30
卡方统计量
χ² = (5 − 8)²/8 + (11 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20 + (15 − 12)²/12 + (19 − 18)²/18 + (26 − 30)²/30
χ² = 3.347
答案
χ² = 3.347
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ² = 9.111
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 40, 60
工厂 B: 40, 60
工厂 C: 24, 36
卡方统计量
χ² = (36 − 40)²/40 + (64 − 60)²/60 + (51 − 40)²/40 + (49 − 60)²/60 + (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36
χ² = 9.111
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
9.111 < 9.210
答案
χ² = 9.111
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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