心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

专家检查一份数学考试的题目是否涵盖了教学大纲中的所有主题。这评估的是：

A重测信度
B内容效度
C预测效度
D生态效度

2.心理学研究方法困难

一项只以职业篮球运动员为对象的研究发现，身高与智商的相关为 r = 0.05，而在一般人群中这一相关更高。最能解释这种弱相关的是什么？

A向平均数回归
B全距受限
C智商测验的天花板效应
D需求特征

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：40, 34, 57, 52, 10, 54。

n = 6

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值高于 78 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 20x = 78

P =

5.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.1, 0.25, 0.2

σ =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.2, 0.1, 0.35, 0.15Y = 3X + 1

σ_Y =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9312。求 z，保留两位小数。

A = 0.9312

z =

8.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分80%

x = 分

9.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 40.5 h，已知标准差 19 h。型号 2：80 部手机，均值 54 h，已知标准差 3 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 30x̄₁ = 40.5 hσ₁ = 19 hn₂ = 80x̄₂ = 54 hσ₂ = 3 h90%

E = h

10.置信区间困难

总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 12E = 2.590%

n =

11.假设检验与置信区间中等

16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.71，差值的标准差为 3.8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 16d̄ = −1.71s_d = 3.8

t =

12.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 72.9。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 72.9σ = 15n = 6495%

U =

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4 时的 ŷ。

n = 6x = 4

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，无缺陷”的期望频数 E。

行合计 = 75列合计 = 67N = 178

E =

16.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: B · 内容效度

为什么是这个答案

内容效度是指一个测量涵盖该结构所有相关方面的程度，通常由专家判断。

答案

B · 内容效度

2.心理学研究方法

答案: B · 全距受限

为什么是这个答案

当样本只覆盖某个变量很窄的范围时，涉及该变量的相关就会降低。篮球运动员都很高，因此身高变化很小。

答案

B · 全距受限

3.描述统计

答案: s = 17.65

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 247/6 = 41.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−1.167)² + (−7.167)² + 15.83² + 10.83² + (−31.17)² + 12.83² = 1557

标准差

s = √(1557/5) = 17.65

答案

s = 17.65

4.描述统计

答案: P = 0.3446

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答案

P = 0.3446

5.概率

答案: σ = 1.449

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6.1

方差

Var(X) = 6.1 − 2² = 2.1

σ = √2.1 = 1.449

答案

σ = 1.449

6.概率

答案: σ_Y = 4.187

X 的离散程度

μ = 3.05, Var(X) = 1.948, σ_X = 1.396

线性变换

σ_Y = |3|·1.396 = 4.187

答案

σ_Y = 4.187

均值确实会改变：E(Y) = 3·3.05 + 1 = 10.15。

7.正态分布

答案: z = 1.82

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9312)/2 = 0.9656

反向查 z 表

在表中找到 0.9656，读出 z。

z = 1.82

答案

z = 1.82

8.正态分布

答案: x = 112.6 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.8

由表得到的 z

z ≈ 0.84

回到原来的单位

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分

答案

x = 112.6 分

9.置信区间

答案: E = 5.733 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 40.5 − 54 = −13.5

标准误

SE = √(19²/30 + 3²/80) = 3.485

误差范围

E = 1.645·3.485 = 5.733

答案

E = 5.733 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

10.置信区间

答案: n = 63

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·12/2.5)² = 62.35

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 63

答案

n = 63

11.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 3.8/√16 = 0.95

检验统计量

t = −1.71/0.95 = −1.8

答案

t = −1.8

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: U = 76.58

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·15/√64 = 3.675

区间端点

U = 72.9 + 3.675 = 76.58

答案

U = 76.58

13.线性回归与相关

答案: r² = 0.7576

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 271/5 = 54.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118.8

决定系数

r² = 60²/(40·118.8) = 0.7576

答案

r² = 0.7576

y 的变异中约有 75.76% 可由该直线解释。

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 69.19

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 477/6 = 79.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 361

回归直线

b = 361/70 = 5.157

a = 79.5 − 5.157·6 = 48.56

ŷ = 48.56 + 5.157·x

预测

ŷ = 48.56 + 5.157·4 = 69.19

答案

ŷ = 69.19

15.卡方检验

答案: E = 28.23

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 75·67/178 = 28.23

答案

E = 28.23

16.卡方检验

答案: χ² = 39.82

期望频数

生产线 1: 45, 15

生产线 2: 45, 15

生产线 3: 75, 25

卡方统计量

χ² = (37 − 45)²/45 + (23 − 15)²/15 + (33 − 45)²/45 + (27 − 15)²/15 + (95 − 75)²/75 + (5 − 25)²/25

χ² = 39.82

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

39.82 > 5.991

答案

χ² = 39.82

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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