描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
平均数 50 的 95% 置信区间为 46 到 54。最准确的解释是什么？
- A结果不显著
- B样本平均数为 50 的概率是 95%
- C样本中 95% 的个体参与者在该测量上得分在 46 到 54 之间
- D所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法困难
一项研究报告了两个人数相等的独立组的 t(28) = 2.50，p = .018。共有多少名参与者？
- A29
- B30
- C56
- D28
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：51, 46, 13, 43, 49。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 70 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 20x = 70
z =
5.概率中等
从 12 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 12k = 2
N =
6.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.3
P =
7.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 70.75 和 118.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 70.75x2 = 118.75
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分80%
x = 分
9.置信区间中等
测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.5，标准差为 4.8。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 13d̄ = 3.5sd = 4.899%t(12) = 3.055
下限 = mmHg
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 63.5 kg，标准差 7.5 kg。地块组 2：14 块地，均值 51.5 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 7x̄₁ = 63.5s₁ = 7.5n₂ = 14x̄₂ = 51.5s₂ = 5.595%t(19) = 2.093
下限 = kg
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 71.75，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 71.75s = 10n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 198.5。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 198.5σ = 15n = 4990%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 112Σx² = 91Σy² = 2306Σxy = 332
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4 时的 ŷ。
n = 6x = 4
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2002 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
为什么是这个答案
95% 置信区间给出总体参数的一系列可信值。区间越窄（来自更大的样本），估计越精确。
答案
D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法
答案: B · 30
为什么是这个答案
自由度为 28 意味着有 28 + 2 = 30 名参与者，每组 15 人。
答案
B · 30
3.描述统计
答案: s = 15.61
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 202/5 = 40.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.6² + 5.6² + (−27.4)² + 2.6² + 8.6² = 975.2
标准差
s = √(975.2/4) = 15.61
答案
s = 15.61
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (70 − 50)/20 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: N = 66
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66
答案
N = 66
6.概率
答案: P = 0.1493
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.710 = 0.02825
P(X = 1) = 10·0.3·0.79 = 0.1211
相加
P = 0.02825 + 0.1211 = 0.1493
答案
P = 0.1493
7.正态分布
答案: P = 0.8688
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (70.75 − 100)/15 = −1.95
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−1.95) = 0.8944 − 0.02559 = 0.8688
答案
P = 0.8688
8.正态分布
答案: x = 87.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分
答案
x = 87.4 分
9.置信区间
答案: 下限 = −0.5671 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 12, t = 3.055
误差范围
E = 3.055·4.8/√13 = 4.067
区间
3.5 ± 4.067 → [−0.5671, 7.567]
答案
下限 = −0.5671 mmHg
10.置信区间
答案: 下限 = 5.991 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·7.5² + 13·5.5²)/19 = 38.46
sp = 6.202
误差范围
E = 2.093·6.202·√(1/7 + 1/14) = 6.009
区间
12 ± 6.009 → [5.991, 18.01]
答案
下限 = 5.991 kg
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
检验统计量
t = (71.75 − 75)/1.25 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 195
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·15/√49 = 3.525
区间端点
L = 198.5 − 3.525 = 195
答案
L = 195
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9774
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 332 − 21·112/6 = −60
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2306 − 112²/6 = 215.3
相关系数
r = −60/√(17.5·215.3) = −0.9774
答案
r = −0.9774
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 70.8
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 487/6 = 81.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 363
回归直线
b = 363/70 = 5.186
a = 81.17 − 5.186·6 = 50.05
ŷ = 50.05 + 5.186·x
预测
ŷ = 50.05 + 5.186·4 = 70.8
答案
ŷ = 70.8
15.卡方检验
答案: χ² = 3.32
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25
夜班: 100·100/200 = 50, 100·50/200 = 25, 100·50/200 = 25
卡方统计量
χ² = (49 − 50)²/50 + (30 − 25)²/25 + (21 − 25)²/25 + (51 − 50)²/50 + (20 − 25)²/25 + (29 − 25)²/25
χ² = 3.32
答案
χ² = 3.32
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
答案
df = 6
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