描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
平均数 50 的 95% 置信区间为 46 到 54。最准确的解释是什么？
- A结果不显著
- B样本中 95% 的个体参与者在该测量上得分在 46 到 54 之间
- C样本平均数为 50 的概率是 95%
- D所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法困难
一个心理学系只从心理学导论课中招募参与者。批评者说这些样本是"WEIRD"的。这指的是什么？
- A早早退出研究的样本
- B西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
- C用加权随机方法招募的样本
- D行为异常古怪的样本
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：59, 28, 21, 10, 30。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 42.5 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 42.5
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.05, 0.3, 0.25
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €2，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€2: p = 0.2€10: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242 和 259 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242x2 = 259
P =
8.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分95%
x = 分
9.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −1.2，标准差为 1.5。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 20d̄ = −1.2sd = 1.595%t(19) = 2.093
下限 = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 35E = 199%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 495.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 495.5s = 20n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 11。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 2.5σ = 11zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 5x = 2.5
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 69列合计 = 36N = 109
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
为什么是这个答案
95% 置信区间给出总体参数的一系列可信值。区间越窄（来自更大的样本），估计越精确。
答案
D · 所用的程序产生的区间有 95% 的时候包含真实平均数
2.心理学研究方法
答案: B · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
为什么是这个答案
Henrich 及其同事指出，大多数心理学研究参与者来自 WEIRD 社会，这些社会不能代表全人类，从而威胁总体效度。
答案
B · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
3.描述统计
答案: s = 18.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 148/5 = 29.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 29.4² + (−1.6)² + (−8.6)² + (−19.6)² + 0.4² = 1325
标准差
s = √(1325/4) = 18.2
答案
s = 18.2
4.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (42.5 − 50)/15 = −0.5
答案
z = −0.5
5.概率
答案: σ = 1.609
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.1 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.25 = 2.1
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.1 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.25 = 7
方差
Var(X) = 7 − 2.1² = 2.59
σ = √2.59 = 1.609
答案
σ = 1.609
6.概率
答案: E(G) = −0.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 1 (p = 0.2), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)
期望值
E(G) = 1·0.2 + 9·0.01 − 1·0.79 = −0.5 €
答案
E(G) = −0.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.9093
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242 − 250)/5 = −1.6
z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.6) = 0.9641 − 0.0548 = 0.9093
答案
P = 0.9093
8.正态分布
答案: x = 124.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 100 + 1.64·15 = 124.6 分
答案
x = 124.6 分
9.置信区间
答案: 下限 = −1.902 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.093
误差范围
E = 2.093·1.5/√20 = 0.702
区间
−1.2 ± 0.702 → [−1.902, −0.498]
答案
下限 = −1.902 mmHg
10.置信区间
答案: n = 8129
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·35/1)² = 8129
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 8129
答案
n = 8129
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5
检验统计量
t = (495.5 − 500)/2.5 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 195
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·11/2.5)² = 194.3
向上取整
n = 195
答案
n = 195
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9659
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 464/5 = 92.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1675
相关系数
r = 250/√(40·1675) = 0.9659
答案
r = 0.9659
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 22.75
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
回归直线
b = −23/10 = −2.3
a = 21.6 − (−2.3)·3 = 28.5
ŷ = 28.5 − 2.3·x
预测
ŷ = 28.5 + (−2.3)·2.5 = 22.75
答案
ŷ = 22.75
15.卡方检验
答案: E = 22.79
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 69·36/109 = 22.79
答案
E = 22.79
16.卡方检验
答案: χ²crit = 21.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 10 − 1 = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666
答案
χ²crit = 21.666
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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