描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？
- A滚雪球抽样
- B随机抽样
- C分层抽样
- D系统抽样
2.心理学研究方法困难
因焦虑分数极高而被选中的患者，即使没有接受治疗，在第二次测验时分数也降低了。最可能的解释是什么？
- A霍桑效应
- B向平均数回归
- C平衡抵消
- D天花板效应
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 46, 31, 56, 58, 29。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 540 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 100x = 540
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 3
P =
6.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.2
P =
7.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62.5 和 85 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 62.5x2 = 85
P =
8.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分15%
x = 分
9.置信区间中等
基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 6.1。 基于 576 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 64E₁ = 6.195%n₂ = 576
E₂ =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.04？
p = 0.5E = 0.0490%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 3.12，差值的标准差为 7.8。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 16d̄ = 3.12sd = 7.8
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 10。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 10zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (7, 75)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(7, 75)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，无缺陷”的期望频数 E。
行合计 = 49列合计 = 27N = 106
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 滚雪球抽样
为什么是这个答案
滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。
答案
A · 滚雪球抽样
2.心理学研究方法
答案: B · 向平均数回归
为什么是这个答案
当人们因极端分数而被选中时，测量误差和偶然因素使他们以后的分数倾向于向平均数靠拢。控制组有助于把这种现象与治疗效果区分开来。
答案
B · 向平均数回归
3.描述统计
答案: s = 12.26
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 268/6 = 44.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3.333² + 1.333² + (−13.67)² + 11.33² + 13.33² + (−15.67)² = 751.3
标准差
s = √(751.3/5) = 12.26
答案
s = 12.26
4.描述统计
答案: P = 0.6554
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答案
P = 0.6554
5.概率
答案: P = 0.4213
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答案
P = 0.4213
6.概率
答案: P = 0.3221
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.811 = 0.0859
P(X = 1) = 11·0.2·0.810 = 0.2362
相加
P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221
答案
P = 0.3221
7.正态分布
答案: P = 0.576
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−0.25) = 0.9772 − 0.4013 = 0.576
答案
P = 0.576
8.正态分布
答案: x = 75.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.85
由表得到的 z
z ≈ 1.04
回到原来的单位
x = 65 + 1.04·10 = 75.4 分
答案
x = 75.4 分
9.置信区间
答案: E₂ = 1.547
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/576) = 0.2536
新的误差范围
E₂ = 6.1·0.2536 = 1.547
答案
E₂ = 1.547
10.置信区间
答案: n = 423
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.04² = 422.8
向上取整
n = 423
答案
n = 423
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.8/√16 = 1.95
检验统计量
t = 3.12/1.95 = 1.6
答案
t = 1.6
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 112
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·10/3)² = 111.5
向上取整
n = 112
答案
n = 112
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9738
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 314/5 = 62.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 624.8
决定系数
r² = 156²/(40·624.8) = 0.9738
答案
r² = 0.9738
y 的变异中约有 97.38% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −2.833
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 467/6 = 77.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347
回归直线
b = 347/70 = 4.957
a = 77.83 − 4.957·7 = 43.13
ŷ = 43.13 + 4.957·x
预测值
ŷ = 43.13 + 4.957·7 = 77.83
残差
e = 75 − 77.83 = −2.833
答案
e = −2.833
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 12.48
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 49·27/106 = 12.48
答案
E = 12.48
16.卡方检验
答案: χ² = 3.438
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 36, 24
31–50 岁: 48, 32
51 岁及以上: 24, 16
卡方统计量
χ² = (39 − 36)²/36 + (21 − 24)²/24 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16
χ² = 3.438
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
3.438 < 5.991
答案
χ² = 3.438
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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