描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
同样的 25 名参与者在摄入咖啡因前后各完成一次记忆测验。分数为等距数据且大致正态。哪种检验合适？
- A独立样本 t 检验
- BMann–Whitney U 检验
- C卡方检验
- D配对（相关）样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
一项只以职业篮球运动员为对象的研究发现，身高与智商的相关为 r = 0.05，而在一般人群中这一相关更高。最能解释这种弱相关的是什么？
- A智商测验的天花板效应
- B需求特征
- C向平均数回归
- D全距受限
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 58, 30, 51, 23。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 524 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 40x = 524
z =
5.概率中等
袋中有 6 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 3
P =
6.概率困难
一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.2k = 1
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7580。求 z，保留两位小数。
A = 0.7580
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm10%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 37，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 11x̄ = 37s = 8.595%t(10) = 2.228
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 24E = 299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 108 mm，该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 111.3 mm，已知标准差为 12 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 108 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 40x̄₂ = 111.3 mmσ₂ = 12 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 8。实际上均值为 502.6。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 502.6σ = 8n = 64α = 0.05
β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 95Σy = 421Σx² = 1845Σy² = 37065Σxy = 8251
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 23？
n = 6ŷ = 23
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，汽车”的期望频数 E。
行合计 = 108列合计 = 78N = 212
E =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 2 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 配对（相关）样本 t 检验
为什么是这个答案
配对 t 检验利用每个人内部的差值，比较同一批参与者在两种条件下的平均数。
答案
D · 配对（相关）样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: D · 全距受限
为什么是这个答案
当样本只覆盖某个变量很窄的范围时，涉及该变量的相关就会降低。篮球运动员都很高，因此身高变化很小。
答案
D · 全距受限
3.描述统计
答案: s = 15.32
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 191/5 = 38.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.2)² + 19.8² + (−8.2)² + 12.8² + (−15.2)² = 938.8
标准差
s = √(938.8/4) = 15.32
答案
s = 15.32
4.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (524 − 500)/40 = 0.6
答案
z = 0.6
5.概率
答案: P = 0.4167
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0.4167
答案
P = 0.4167
6.概率
答案: P = 0.2062
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 12·0.21·0.811 = 12·0.2·0.0859 = 0.2062
答案
P = 0.2062
7.正态分布
答案: z = 1.17
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.7580)/2 = 0.8790
反向查 z 表
在表中找到 0.8790，读出 z。
z = 1.17
答案
z = 1.17
8.正态分布
答案: x = 169 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 178 − 1.28·7 = 169 cm
答案
x = 169 cm
9.置信区间
答案: 上限 = 42.71
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·8.5/√11 = 5.71
区间
37 ± 5.71 → [31.29, 42.71]
答案
上限 = 42.71
10.置信区间
答案: n = 956
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·24/2)² = 955.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 956
答案
n = 956
11.假设检验与置信区间
答案: z = −1.623
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(4²/30 + 12²/40) = √4.133 = 2.033
检验统计量
z = (108 − 111.3)/2.033 = −1.623
答案
z = −1.623
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: β = 16.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 500 + 1.645·1 = 501.6
真实均值下的 z
z = (501.6 − 502.6)/1 = −0.955
第二类错误
功效 = P(Z > −0.955) = 83.02%
β = 100% − 83.02% = 16.98%
答案
β = 16.98%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9909
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 8251 − 95·421/5 = 252
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 37065 − 421²/5 = 1617
相关系数
r = 252/√(40·1617) = 0.9909
答案
r = 0.9909
14.线性回归与相关
答案: x = 2.453
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 124/6 = 20.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39
回归直线
b = −39/17.5 = −2.229
a = 20.67 − (−2.229)·3.5 = 28.47
ŷ = 28.47 − 2.229·x
解出 x
x = (23 − 28.47)/(−2.229) = 2.453
答案
x = 2.453
15.卡方检验
答案: E = 39.74
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 108·78/212 = 39.74
答案
E = 39.74
16.卡方检验
答案: χ²crit = 3.841
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
表
χ²crit(df = 1, α = 0.05) = 3.841
答案
χ²crit = 3.841
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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