描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
第一类错误发生在研究者：
- A使用了错误的统计检验
- B拒绝了一个实际上为真的零假设
- C收集了过多的数据
- D没有拒绝一个错误的零假设
2.心理学研究方法困难
一项研究发现睡眠多的学生成绩更高。哪种设计改变最能支持因果结论？
- A更准确地测量成绩
- B调查更多学生
- C把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
- D让学生报告两次睡眠情况，并取两次报告的平均值
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：13, 17, 30, 54, 32, 23。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值低于 90 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 5x = 90
P =
5.概率中等
从 7 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 4
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.35, 0.05, 0.3Y = 2X + 4
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1539。求 z，保留两位小数。
A = 0.1539
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 26，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 8x̄ = 26s = 1895%t(7) = 2.365
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 15E = 1.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 501，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 501s = 10n = 49
t =
12.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 98.3。总体标准差为 10。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 98.3σ = 10n = 10090%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 26)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(9, 26)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 83列合计 = 56N = 172
E =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 拒绝了一个实际上为真的零假设
为什么是这个答案
第一类错误是声称存在一个并不存在的效应，其概率等于显著性水平（常为 0.05）。第二类错误是漏掉了真实的效应。
答案
B · 拒绝了一个实际上为真的零假设
2.心理学研究方法
答案: C · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
为什么是这个答案
只有通过随机分配来操纵睡眠，才能控制第三变量，并在伦理允许的范围内做出因果推断。
答案
C · 把学生随机分配到不同的睡眠时间安排中
3.描述统计
答案: s = 14.61
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 169/6 = 28.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15.17)² + (−11.17)² + 1.833² + 25.83² + 3.833² + (−5.167)² = 1067
标准差
s = √(1067/5) = 14.61
答案
s = 14.61
4.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
5.概率
答案: N = 35
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35
答案
N = 35
6.概率
答案: σY = 23.9
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 23.5, Var(X) = 142.8, σX = 11.95
线性变换
σY = |2|·11.95 = 23.9
答案
σY = 23.9
均值确实会改变：E(Y) = 2·23.5 + 4 = 51。
7.正态分布
答案: z = 1.02
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.1539 = 0.8461
反向查 z 表
在表中找到 0.8461，读出 z。
z = 1.02
答案
z = 1.02
8.正态分布
答案: x = 176.3 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm
答案
x = 176.3 cm
9.置信区间
答案: 上限 = 41.05
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 2.365
误差范围
E = 2.365·18/√8 = 15.05
区间
26 ± 15.05 → [10.95, 41.05]
答案
上限 = 41.05
10.置信区间
答案: n = 271
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·15/1.5)² = 270.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 271
答案
n = 271
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
检验统计量
t = (501 − 500)/1.429 = 0.7
答案
t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 96.66
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·10/√100 = 1.645
区间端点
L = 98.3 − 1.645 = 96.66
答案
L = 96.66
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9446
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 323/5 = 64.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 137.2
决定系数
r² = 36²/(10·137.2) = 0.9446
答案
r² = 0.9446
y 的变异中约有 94.46% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = 2.086
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 114/6 = 19
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
回归直线
b = 172/70 = 2.457
a = 19 − 2.457·7 = 1.8
ŷ = 1.8 + 2.457·x
预测值
ŷ = 1.8 + 2.457·9 = 23.91
残差
e = 26 − 23.91 = 2.086
答案
e = 2.086
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 27.02
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 83·56/172 = 27.02
答案
E = 27.02
16.卡方检验
答案: χ²crit = 9.21
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
表
χ²crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210
答案
χ²crit = 9.210
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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