描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
专家检查一份数学考试的题目是否涵盖了教学大纲中的所有主题。这评估的是：
- A预测效度
- B重测信度
- C生态效度
- D内容效度
2.心理学研究方法困难
一名参与者服用药物或糖丸，但不知道是哪一种，而研究者知道。这是什么设计？还可能存在哪种偏差？
- A开放试验；安慰剂效应得到完全控制
- B单盲；不可能出现需求特征
- C单盲；仍可能存在实验者偏差
- D双盲；不可能存在任何偏差
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 28, 15, 56, 24。
n = 5
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。求成绩 80 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 10x = 80
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €3，以概率 0.01 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€3: p = 0.25€50: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9115。求 z，保留两位小数。
A = 0.9115
z =
8.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 97.5%
x = g
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 70 h，已知标准差 16 h。型号 2：50 部手机，均值 82.5 h，已知标准差 6 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 50x̄₁ = 70 hσ₁ = 16 hn₂ = 50x̄₂ = 82.5 hσ₂ = 6 h99%
下限 = h
10.置信区间困难
总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 35E = 390%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 193.5，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 193.5s = 10n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 49.3。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 49.3σ = 5n = 6495%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 36Σy = 455Σx² = 286Σy² = 36987Σxy = 3143
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (10, 78)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(10, 78)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 4 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
4 × 4
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 内容效度
为什么是这个答案
内容效度是指一个测量涵盖该结构所有相关方面的程度，通常由专家判断。
答案
D · 内容效度
2.心理学研究方法
答案: C · 单盲；仍可能存在实验者偏差
为什么是这个答案
在单盲设计中，参与者不知道自己所处的条件，这控制了对安慰剂的期望。研究者知情仍可能影响结果，因此首选双盲设计。
答案
C · 单盲；仍可能存在实验者偏差
3.描述统计
答案: s = 15.87
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 163/5 = 32.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.4² + (−4.6)² + (−17.6)² + 23.4² + (−8.6)² = 1007
标准差
s = √(1007/4) = 15.87
答案
s = 15.87
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (80 − 100)/10 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: σ = 1.987
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.1 + 2·0.35 + 4·0.25 + 6·0.3 = 3.5
平方的均值
E(X²) = 0·0.1 + 4·0.35 + 16·0.25 + 36·0.3 = 16.2
方差
Var(X) = 16.2 − 3.5² = 3.95
σ = √3.95 = 1.987
答案
σ = 1.987
6.概率
答案: E(G) = 0.25 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.25), 49 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 2·0.25 + 49·0.01 − 1·0.74 = 0.25 €
答案
E(G) = 0.25 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: z = −1.35
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9115 = 0.0885
反向查 z 表
在表中找到 0.0885，读出 z。
z = −1.35
答案
z = −1.35
8.正态分布
答案: x = 259.8 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g
答案
x = 259.8 g
9.置信区间
答案: 下限 = −18.73 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 70 − 82.5 = −12.5
标准误
SE = √(16²/50 + 6²/50) = 2.417
误差范围
E = 2.576·2.417 = 6.225
区间
−12.5 ± 6.225 → [−18.73, −6.275]
答案
下限 = −18.73 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: n = 369
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·35/3)² = 368.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 369
答案
n = 369
11.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (193.5 − 200)/2.5 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 48.07
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√64 = 1.225
区间端点
L = 49.3 − 1.225 = 48.07
答案
L = 48.07
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9907
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 3143 − 36·455/6 = 413
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 36987 − 455²/6 = 2483
相关系数
r = 413/√(70·2483) = 0.9907
答案
r = 0.9907
14.线性回归与相关
答案: e = −2.062
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 347/6 = 57.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 389
回归直线
b = 389/70 = 5.557
a = 57.83 − 5.557·6 = 24.49
ŷ = 24.49 + 5.557·x
预测值
ŷ = 24.49 + 5.557·10 = 80.06
残差
e = 78 − 80.06 = −2.062
答案
e = −2.062
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 2.263
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 40·63/140 = 18, 40·77/140 = 22
安慰剂: 100·63/140 = 45, 100·77/140 = 55
卡方统计量
χ² = (14 − 18)²/18 + (26 − 22)²/22 + (49 − 45)²/45 + (51 − 55)²/55
χ² = 2.263
答案
χ² = 2.263
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 9
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
答案
df = 9
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