描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
哪种统计量适用于两组等级之间的关系，例如评委对画作的排名？
- A卡方
- BPearson 相关系数 r
- CSpearman 等级相关系数（rho）
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
一项研究发现，在社会支持强的人身上，压力对疾病的影响较弱。社会支持在这里起什么作用？
- A中介变量
- B调节变量
- C因变量
- D混淆变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：36, 48, 19, 23, 58, 54。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 560 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 60x = 560
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.25, 0.3, 0.25
σ =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.35Y = 0.5X + 1
σY =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9199。求 z，保留两位小数。
A = 0.9199
z =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 95%
x = 分
9.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 38，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 7x̄ = 38s = 8.595%t(6) = 2.447
下限 =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0395%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 15。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 53.66。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ > 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 15n = 100x̄ = 53.66H₁: μ > μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 6。实际上均值为 77。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 77σ = 6n = 36α = 0.10
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 52)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(5, 52)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2002 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · Spearman 等级相关系数（rho）
为什么是这个答案
Spearman 等级相关测量两个排序或顺序变量之间单调关系的强度。
答案
C · Spearman 等级相关系数（rho）
2.心理学研究方法
答案: B · 调节变量
为什么是这个答案
调节变量改变两个变量之间关系的强度或方向。中介变量解释一个变量影响另一个变量的机制。
答案
B · 调节变量
3.描述统计
答案: s = 16.31
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 238/6 = 39.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3.667)² + 8.333² + (−20.67)² + (−16.67)² + 18.33² + 14.33² = 1329
标准差
s = √(1329/5) = 16.31
答案
s = 16.31
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (560 − 500)/60 = 1
答案
z = 1
5.概率
答案: σ = 2.135
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 2·0.25 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.2
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 4·0.25 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.8
方差
Var(X) = 14.8 − 3.2² = 4.56
σ = √4.56 = 2.135
答案
σ = 2.135
6.概率
答案: σY = 1.178
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.5, Var(X) = 5.55, σX = 2.356
线性变换
σY = |0.5|·2.356 = 1.178
答案
σY = 1.178
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.5 + 1 = 2.75。
7.正态分布
答案: z = 1.75
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9199)/2 = 0.9599
反向查 z 表
在表中找到 0.9599，读出 z。
z = 1.75
答案
z = 1.75
8.正态分布
答案: x = 81.45 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 65 + 1.645·10 = 81.45 分
答案
x = 81.45 分
9.置信区间
答案: 下限 = 30.14
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·8.5/√7 = 7.861
区间
38 ± 7.861 → [30.14, 45.86]
答案
下限 = 30.14
10.置信区间
答案: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067
向上取整
n = 1068
答案
n = 1068
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.007344
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 15/√100 = 1.5
z = (53.66 − 50)/1.5 = 2.44
尾部面积
Φ(2.44) = 0.9927
1 − Φ(2.44) = 0.0073
p 值
p = 0.007344
答案
p = 0.007344
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 95.71 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 6/√36 = 1
x̄c = 80 − 1.282·1 = 78.72
真实均值下的 z
z = (78.72 − 77)/1 = 1.718
功率
功效 = P(Z < 1.718) = 95.71%
1 − β = 95.71%
答案
1 − β = 95.71%
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9989
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 179/6 = 29.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1263
相关系数
r = 297/√(70·1263) = 0.9989
答案
r = 0.9989
14.线性回归与相关
答案: e = 4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 249/5 = 49.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
回归直线
b = 72/40 = 1.8
a = 49.8 − 1.8·6 = 39
ŷ = 39 + 1.8·x
预测值
ŷ = 39 + 1.8·5 = 48
残差
e = 52 − 48 = 4
答案
e = 4
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: χ² = 1.333
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 120·100/200 = 60, 120·100/200 = 60
女性: 80·100/200 = 40, 80·100/200 = 40
卡方统计量
χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40
χ² = 1.333
答案
χ² = 1.333
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 21.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 10 − 1 = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.01) = 21.666
答案
χ²crit = 21.666
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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