描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
当数据为顺序数据或明显不服从正态分布时，哪种检验用于比较两个独立组？
- AWilcoxon 符号秩检验
- BMann–Whitney U 检验
- C卡方检验
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
研究者比较三个或更多组的平均数。为什么用单因素方差分析而不是做多次 t 检验？
- At 检验无法处理大于 100 的数字
- B方差分析总是比相应的一组 t 检验发现更大的效应
- Ct 检验需要质性数据
- D多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：11, 34, 56, 49, 24。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 88.75 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 15x = 88.75
P =
5.概率中等
袋中有 7 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 4
P =
6.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.2k = 1
P =
7.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 111.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9< 111.6 kg
P =
8.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 20%
x = 分
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 126.5 h，已知标准差 18 h。型号 2：30 部手机，均值 118 h，已知标准差 14 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 50x̄₁ = 126.5 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 118 hσ₂ = 14 h95%
上限 = h
10.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 85.5 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：8 块地，均值 92 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 9x̄₁ = 85.5s₁ = 3.5n₂ = 8x̄₂ = 92s₂ = 890%t(15) = 1.753
E = kg
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 71.5 mm，该生产线的已知标准差为 12 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 66.2 mm，已知标准差为 18 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 71.5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 80x̄₂ = 66.2 mmσ₂ = 18 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 22。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 22zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 57)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(5, 57)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 77列合计 = 60N = 126
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · Mann–Whitney U 检验
为什么是这个答案
Mann–Whitney U 检验比较两个无关组之间的秩次。Wilcoxon 符号秩检验用于相关样本。
答案
B · Mann–Whitney U 检验
2.心理学研究方法
答案: D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
为什么是这个答案
做许多两两比较会成倍增加假阳性的机会。方差分析同时检验所有组，之后再进行经过校正的事后检验。
答案
D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计
答案: s = 18.27
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 174/5 = 34.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−23.8)² + (−0.8)² + 21.2² + 14.2² + (−10.8)² = 1335
标准差
s = √(1335/4) = 18.27
答案
s = 18.27
4.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
5.概率
答案: P = 0.3818
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0.3818
答案
P = 0.3818
6.概率
答案: P = 0.367
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 7·0.21·0.86 = 7·0.2·0.2621 = 0.367
答案
P = 0.367
7.正态分布
答案: P = 0.9332
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 108 kg, σT = 0.8·√9 = 2.4 kg
标准化
z = (111.6 − 108)/2.4 = 1.5
概率
P = Φ(1.5) = 0.9332
答案
P = 0.9332
8.正态分布
答案: x = 56.58 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 分
答案
x = 56.58 分
9.置信区间
答案: 上限 = 15.57 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 126.5 − 118 = 8.5
标准误
SE = √(18²/50 + 14²/30) = 3.607
误差范围
E = 1.96·3.607 = 7.071
区间
8.5 ± 7.071 → [1.429, 15.57]
答案
上限 = 15.57 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: E = 5.139 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·3.5² + 7·8²)/15 = 36.4
sp = 6.033
误差范围
E = 1.753·6.033·√(1/9 + 1/8) = 5.139
答案
E = 5.139 kg
11.假设检验与置信区间
答案: z = 2.191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(12²/80 + 18²/80) = √5.85 = 2.419
检验统计量
z = (71.5 − 66.2)/2.419 = 2.191
答案
z = 2.191
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 540
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·22/3)² = 539.7
向上取整
n = 540
答案
n = 540
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.973
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 792/6 = 132
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 858
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4804
决定系数
r² = 858²/(157.5·4804) = 0.973
答案
r² = 0.973
y 的变异中约有 97.3% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −4.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 332/5 = 66.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
回归直线
b = 190/40 = 4.75
a = 66.4 − 4.75·6 = 37.9
ŷ = 37.9 + 4.75·x
预测值
ŷ = 37.9 + 4.75·5 = 61.65
残差
e = 57 − 61.65 = −4.65
答案
e = −4.65
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 36.67
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 77·60/126 = 36.67
答案
E = 36.67
16.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
答案
df = 4
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