描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
访谈中的开放式问题收集的是哪类数据？
- A等距数据
- B质性数据
- C只有称名量化数据
- D比率数据
2.心理学研究方法困难
一名研究者测量噪音对注意力集中的影响。噪音条件下的参与者恰好在上午测试，安静条件下的参与者在下午测试。问题是什么？
- A数据是称名水平的
- B一天中的时间是因变量
- C研究的条件太多
- D一天中的时间是混淆变量
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：49, 25, 43, 42, 33, 35。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值低于 80 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 20x = 80
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.15, 0.2, 0.2, 0.1
σ =
6.概率困难
一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.3k = 5
P =
7.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 24.8 和 43.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 24.8x2 = 43.1
P =
8.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 15.5，标准差 s = 17.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 25x̄ = 15.5s = 17.590%t(24) = 1.711
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 23E = 2.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 196.6，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 196.6s = 15n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 12。求最小样本量 n。
σ = 12E = 1.599%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 5x = 3
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 3
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 质性数据
为什么是这个答案
开放式问题产生丰富的质性数据，比封闭式问题的回答更难进行统计分析。
答案
B · 质性数据
2.心理学研究方法
答案: D · 一天中的时间是混淆变量
为什么是这个答案
由于噪音和测试时间一起变化，任何差异都可能由其中任何一个引起。随机安排测试时间或保持时间不变可以消除这一混淆。
答案
D · 一天中的时间是混淆变量
3.描述统计
答案: s = 8.542
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 227/6 = 37.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 11.17² + (−12.83)² + 5.167² + 4.167² + (−4.833)² + (−2.833)² = 364.8
标准差
s = √(364.8/5) = 8.542
答案
s = 8.542
4.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
5.概率
答案: σ = 1.396
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.2 + 4·0.2 + 5·0.1 = 2.55
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.2 + 16·0.2 + 25·0.1 = 8.45
方差
Var(X) = 8.45 − 2.55² = 1.947
σ = √1.947 = 1.396
答案
σ = 1.396
6.概率
答案: P = 0.1585
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 792·0.35·0.77 = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585
答案
P = 0.1585
7.正态分布
答案: P = 0.8528
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.2) = 0.9678 − 0.1151 = 0.8528
答案
P = 0.8528
8.正态分布
答案: P = 0.8554
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06
概率
P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554
答案
P = 0.8554
9.置信区间
答案: E = 5.989
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 1.711
误差范围
E = 1.711·17.5/√25 = 5.989
答案
E = 5.989
10.置信区间
答案: n = 326
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·23/2.5)² = 325.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 326
答案
n = 326
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9067
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75
检验统计量
t = (196.6 − 200)/3.75 = −0.9067
答案
t = −0.9067
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 425
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·12/1.5)² = 424.7
向上取整
n = 425
答案
n = 425
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9303
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26
相关系数
r = −15/√(10·26) = −0.9303
答案
r = −0.9303
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 8.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 63/5 = 12.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
回归直线
b = 58/40 = 1.45
a = 12.6 − 1.45·6 = 3.9
ŷ = 3.9 + 1.45·x
预测
ŷ = 3.9 + 1.45·3 = 8.25
答案
ŷ = 8.25
15.卡方检验
答案: χ² = 0.6593
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 40·42/120 = 14, 40·78/120 = 26
安慰剂: 80·42/120 = 28, 80·78/120 = 52
卡方统计量
χ² = (16 − 14)²/14 + (24 − 26)²/26 + (26 − 28)²/28 + (54 − 52)²/52
χ² = 0.6593
答案
χ² = 0.6593
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
答案
df = 4
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