描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
操作化是指：
- A在医院等真实的实际运作环境中开展研究
- B选择统计检验
- C给参与者指导语
- D以精确、可测量的方式定义变量
2.心理学研究方法困难
研究者在九个时间点收集数据，每次都在 5% 水平上检验而不做校正。问题是什么？
- A至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
- B数据每次都变得更可靠，因此最后一次检验最准确
- C这种做法没有问题
- D每次检验效应量都会下降
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 44, 49, 24, 38, 26, 20。
n = 7
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 158 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 10x = 158
P =
5.概率中等
从 13 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 5
N =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.05 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€10: p = 0.1€50: p = 0.05
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9566。求 z，保留两位小数。
A = 0.9566
z =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
9.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 43.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 13x̄ = 43.5s = 4.595%t(12) = 2.179
上限 =
10.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 12。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 118.12。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ < 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 12n = 144x̄ = 118.12H₁: μ < μ₀
p =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 52.2。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 52.2σ = 12n = 2590%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (17.5, 65)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(17.5, 65)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“教职工，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 112列合计 = 51N = 171
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 以精确、可测量的方式定义变量
为什么是这个答案
将变量操作化，就是把抽象概念转化为具体的测量，使研究可以被重复。
答案
D · 以精确、可测量的方式定义变量
2.心理学研究方法
答案: A · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
为什么是这个答案
进行九次独立检验时，至少犯一次第一类错误的概率约为 1 − 0.95⁹ ≈ 37%。邦费罗尼校正等方法可以解决这一问题。
答案
A · 至少出现一次假阳性的概率远高于 5%
3.描述统计
答案: s = 12.66
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 217/7 = 31
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15)² + 13² + 18² + (−7)² + 7² + (−5)² + (−11)² = 962
标准差
s = √(962/6) = 12.66
答案
s = 12.66
4.描述统计
答案: P = 0.1151
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答案
P = 0.1151
5.概率
答案: N = 1287
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
答案
N = 1287
6.概率
答案: E(G) = −1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 5 (p = 0.1), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 5·0.1 + 45·0.05 − 5·0.85 = −1.5 €
答案
E(G) = −1.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = 2.02
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9566)/2 = 0.9783
反向查 z 表
在表中找到 0.9783，读出 z。
z = 2.02
答案
z = 2.02
8.正态分布
答案: x = 169 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm
答案
x = 169.03 cm
9.置信区间
答案: 上限 = 46.22
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 2.179
误差范围
E = 2.179·4.5/√13 = 2.72
区间
43.5 ± 2.72 → [40.78, 46.22]
答案
上限 = 46.22
10.置信区间
答案: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537
向上取整
n = 1537
答案
n = 1537
11.假设检验与置信区间
答案: p = 0.03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (118.12 − 120)/1 = −1.88
尾部面积
Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301
p 值
p = 0.03005
答案
p = 0.03005
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 56.15
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√25 = 3.948
区间端点
U = 52.2 + 3.948 = 56.15
答案
U = 56.15
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9637
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 91/6 = 15.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 138.8
相关系数
r = −47.5/√(17.5·138.8) = −0.9637
答案
r = −0.9637
14.线性回归与相关
答案: e = 2.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 412/5 = 82.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390
回归直线
b = 390/90 = 4.333
a = 82.4 − 4.333·22 = −12.93
ŷ = −12.93 + 4.333·x
预测值
ŷ = −12.93 + 4.333·17.5 = 62.9
残差
e = 65 − 62.9 = 2.1
答案
e = 2.1
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 33.4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 112·51/171 = 33.4
答案
E = 33.4
16.卡方检验
答案: χ² = 9.233
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 30, 30
生产线 2: 20, 20
生产线 3: 30, 30
卡方统计量
χ² = (31 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (22 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30
χ² = 9.233
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
9.233 > 9.210
答案
χ² = 9.233
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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